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1、专题限时集训(十四)第14讲空间向量与立体几何(时间：10分钟35分钟)1已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A(4,0,3) B(3,1,3)C(1,2,3) D(2,1,3)2对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有xyz(x，y，zR)，则x2，y3，z2是P，A，B，C四点共面的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件3在空间直角坐标系中，点M(5,1，2)关于xOz面的对称点坐标为_4若向量a(1,1，x)，b(1,2,1
2、)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.1平面的一个法向量n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A. B. C. D.2平面，的法向量分别是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，则平面，所成角的余弦值是()A. BC. D3点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是()A(0,0，2) B(0,0，3)C(0,0，) D(0,0，1)4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若xyz，且0xyz1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()A1 B. C. D.5平面经过点
3、A(0,0,2)且一个法向量n(1，1，1)，则x轴与平面的交点坐标是_6如图141，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是_图1417.如图142，三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求二面角AA1BC的余弦值图1428如图143，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点(1)求证：BDFG；(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG平面PBD
4、，并说明理由；(3)当二面角BPCD的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值图143专题限时集训(十四)【基础演练】1B【解析】 设p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，又p4a2b3c，故(xy)a(xy)bzc4a2b3c，由于a，b，c不共面，根据平面向量基本定理得xy4，xy2，z3，即x3，y1，z3，即p在基底ab，ab，c下的坐标是(3,1,3)2B【解析】 当x2，y3，z2时，即232，则23()2()，即32，根据共面向量定理，P，A，B，C四点共面；反之当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理mn，
5、即m()n()，即(1mn)mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3,2.故x2，y3，z2是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件3(5，1，2)【解析】 M关于xOz面的对称点第一和第三坐标不变，第二坐标互为相反数，故M关于xOz面的对称点的坐标是(5，1，2)在空间直角坐标系中求一个点关于坐标原点、坐标轴和坐标平面的对称点的坐标，不要死记，只要根据中点坐标公式即可，如求点M(x，y，z)关于z轴的对称点M的坐标时，这个点在z轴上的射影点(0,0，z)就是点M，M的中点，根据中点坐标公式可得M(x，y，z)42【解析】 c(1,1,1)，a(1,1，x)，ca(0,0,1x)，(
6、ca)(2b)(0,0,1x)(2,4,2)2(1x)2，x2.【提升训练】1B【解析】 y轴的方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角是.2C【解析】 cosn1，n2，故平面，所成角的余弦值是.3B【解析】 设M(0,0，z)，直线的一个单位方向向量s0，故点M到直线l的距离d，解得z3.4D【解析】 根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0xy1的点P在三棱柱ACDA1C1D1内，满足0yz1的点P在三棱柱AA1D1BB1C1内，故同时满足0xy1和0yz1的点P在这两个三棱柱的公共部分，即图中的三棱锥AA1C1D1内，其体积是111.5
7、(2,0,0)【解析】 设交点M(x,0,0)，(x,0，2)，平面的一个单位法向量是n0，点M到平面的距离d|n0|0得x2，故x轴与平面的交点坐标是(2,0,0)6.a【解析】 设M(0，m，m)(0ma)，(a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0，由(0，m，am)，故点M到直线AD1的距离d，根式内的二次函数当m时取最小值2aa2a2，故d的最小值为a.7【解答】 (1)如图，设A1Dt(t0)，取AB的中点E，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，以DE，DC，DA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,
8、0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，(0,3，t)，(2，1，t)，(2,0,0)，由10，知AC1CB，又BA1AC1，BA1CBB，所以AC1平面A1BC.(2)由3t20，得t.设平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，(0,1，)，(2,2,0)，所以设z1，则n(，1)再设平面A1BC的法向量为m(u，v，w)，(0，1，)，(2,0,0)，所以设w1，则m(0，1)故cosm，n.因为二面角AA1BC为锐角，所以可知二面角AA1BC的余弦值为.8【解答】 (1)以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz如图所示，设正方形ABCD的边长为1，PAa，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，a)(a0)，E，F，G(m，m,0)(0m)(1)(1,1,0)，mm00.BDFG.(2)要使FG平面PBD，只需FGEP，而，由可得解得，m，G，故当AGAC时，FG平面PBD.(3)设平面PBC的一个法向量为u(x，y，z)，则而(1,1，a)，(0,1,0)，取z1，得u(a,0,1)，同理可得平面PDC的一个法向量v(0，a,1)，设u，v所成的角为，则|cos|，即，a1，PA面ABCD，PCA就是PC与底面ABCD所成的角，tanPCA.7用心 爱心 专心
