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1、用心 爱心 专心 1 数列数列 考纲解读考纲解读 1 理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法 并能根据递推公式写出数列的前几项 2 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 并能运用公式解答 简单的问题 3 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 并能运用公式解决 简单的问题 考点预测考点预测 1 等差 比 数列的基本知识是必考内容 这类问题既有选择题 填空题 也有解答题 难 度易 中 难三类皆有 2 数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点 3 函数思想 方程思想 分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用
2、到 解答试题时 要注意灵活应用 4 解答题的难度有逐年增大的趋势 还有一些新颖题型 如与导数和极限相结合等 因此复习中应注意 1 数列是一种特殊的函数 学习时要善于利用函数的思想来解决 如通项公式 前n项和公 式等 2 运用方程的思想解等差 比 数列 是常见题型 解决此类问题需要抓住基本量 a1 d 或q 掌握好设未知数 列出方程 解方程三个环节 常通过 设而不求 整体代 入 来简化运算 3 分类讨论的思想在本章尤为突出 学习时考虑问题要全面 如等比数列求和要注意q 1 和 q 1 两种情况等等 4 等价转化是数学复习中常常运用的 数列也不例外 如an与Sn的转化 将一些数列转化成 等差 比
3、数列来解决等 复习时 要及时总结归纳 5 深刻理解等差 比 数列的定义 能正确使用定义和等差 比 数列的性质是学好本章的 关键 6 解题要善于总结基本数学方法 如观察法 类比法 错位相减法 待定系数法 归纳法 数形结合法 养成良好的学习习惯 定能达到事半功倍的效果 用心 爱心 专心 2 7 数列应用题将是命题的热点 这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用 要点梳理要点梳理 1 证明数列 n a是等差数列的两种基本方法 1 定义法 1nn aad 为常数 2 等差中项法 11 2 2 nnn aaan 2 证明数列 n a是等比数列的两种基本方法 1 定义法 1n n a q a 非零常数
4、 2 等差中项法 2 11 2 nnn aaan 3 常用性质 1 等差数列 n a中 若mnpq 则 mnpq aaaa 2 等比数列 n a中 若mnpq 则 mnpq aaaa 4 求和 1 等差等比数列 用其前 n 项和求出 2 掌握几种常见的求和方法 错位相减法 裂项相消法 分组求和法 倒序相加法 3 掌握等差等比数列前 n 项和的常用性质 考点在线考点在线 考点考点 1 1 等差等比数列的概念及性质等差等比数列的概念及性质 在等差 等比数列中 已知五个元素 1n a a n d或q n S中的任意三个 运用方程的思想 便 可求出其余两个 即 知三求二 本着化多为少的原则 解题时需抓
5、住首项 1 a和公差 或 公比q 另外注意等差 等比数列的性质的运用 例如 1 等差数列 n a 中 若mnpq 则 mnpq aaaa 等比数列 n a中 若 mnpq 则 mnpq a aa a 2 等差数列 n a 中 n2nn3n2nknk n 1 S SS SS SS 成等差数列 其中 n S是等差数列的 前 n 项和 等比数列 n a 中 q1 n2nn3n2nknk n 1 S SS SS SS 成等比数列 其中 n S是等比数列的前 n 项和 3 在等差数列 n a 中 项数 n 成等差的项 n a也称等差数列 4 在等差数列 n a 中 2n 1n S2n1 a 2nnn 1
6、 Sn aa 用心 爱心 专心 3 在复习时 要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式 注意方程思想 整体 思想 分类讨论思想 数形结合思想的运用 例例 1 1 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 11 11 在等差数列 n a中 37 37aa 则 2468 aaaa 答案答案 74 解析解析 284637 37aaaaaa 故 2468 2 3774aaaa 名师点睛名师点睛 本题考查等差数列的性质 备考提示备考提示 熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键 考点考点 2 2 数列的递推关系式的理解与应用数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推
7、关系式的数列问题时 要对其关系式进行适当的变形 转化为常见的 类型进行解题 如 逐差法 若 nn 1 aan 且 1 a1 我们可把各个差列出来进行求和 可得到数列 n a的通项 nnn 1n 1n 2211 aaaaaaaa n n1 nn12 1 2 再看 逐商法 即 n 1 n a n1 a 且 1 a1 可把各个商列出来求积 nn 12 n1 n 1n 21 aaa aan n1n22 1n aaa AA AA A 另外可以变形转化为等差数列与等比数列 利用等差数列与等比数列的性质解决问题 例例 2 2 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 9 9 数列 an 的前 n
8、项和为 Sn 若 a1 1 an 1 3Sn n 1 则 a6 A 3 44 B 3 44 1 用心 爱心 专心 4 C 44 D 44 1 答案答案 A 解析解析 由题意 得 a2 3a1 3 当 n 1 时 an 1 3Sn n 1 所以 an 2 3Sn 1 得 an 2 4an 1 故从第二项起数列等比数列 则 a6 3 44 名师点睛名师点睛 本小题主要考查 n a与与 n S的关系 1 n nn 1 S n 1 a SS n2 数列前 n 项和 n S和通项 n a是数列中两个重要的量 在运用它们的关系式 nnn 1 aSS 时 一定要注意条件n2 求 通项时一定要验证 1 a是否
9、适合 解决含 n a与与 n S的式子问题时 通常转化为只含 n a或者转化 为只 n S的式子 备考提示备考提示 递推数列也是高考的内容之一 要熟练此类题的解法 这是高考的热点 练习练习 2 2 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 5 5 若等比数列 an 满足 anan 1 16n 则公比为 Z A 2 B 4 C 8 D 16 答案答案 B 解析解析 设公比是 q 根据题意 a1a2 16 a2a3 162 得 q2 16 因为 a12q 16 0 a12 0 则 q 0 q 4 考点考点 3 3 数列的通项公式数列的通项公式 n a与前与前 n n 项和公式的应用项和公
10、式的应用 等差 等比数列的前 n 项和公式要深刻理解 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数 等 比数列的前 n 项和公式 n 1 n11 n a 1q aa Sq 1q1q1q q1 因此可以改写为 n n Saqb ab0 是关于 n 的指数函数 当q1 时 n1 Sna 例例 3 20113 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 13 13 设 721 1aaa 其中 7531 aaaa成公比为 q 的等比 数列 642 aaa成公差为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 答案答案 3 3 解析解析 由题意 23 1212121 112aaa qaa qaa q 2 2222 1
11、 12aqaaqa 用心 爱心 专心 5 答案答案 A 解析解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 带入 所求式可知答案选 A 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 考点考点 4 4 数列求和数列求和 例例 4 4 山东省济南市山东省济南市 20112011 年年 2 2 月高三教学质量调研理科月高三教学质量调研理科 2020 题题 已知 n a为等比数列 256 1 51 aa n S为等差数列 n b的前n项和 2 1 b 85 25SS 1 求 n a和 n b的通项公式 2 设 n T nnb ababa 22
12、11 求 n T 解析 1 设 n a的公比为q 由 4 51 aa q 得4 q 所以 1 4 n n a 设 n b的公差为d 由 85 25SS 得32 2 3 2 3 1 ad 所以 1 131 n bb ndn 2 n T 1 1 24 54 8431 n n 2 44 245431 n n Tn 得 21 323 44 44312324 nnn n Tnn 所以 22 4 33 n n Tn 用心 爱心 专心 6 名师点睛名师点睛 本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前 n 项和公式 数列求和等基础知 识 考查运算能力 综合分析和解决问题的能力 备考提示备考提示 熟练数列的求和方
13、法等基础知识是解答好本类题目的关键 练习练习 4 4 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1818 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前 n 项和为 n S 求 n a 及 n S 令 2 1 1 n n b a nN 求数列 n b的前 n 项和 n T 解析解析 设等差数列 n a的公差为 d 因为 3 7a 57 26aa 所以有 考点考点 5 5 等差 等比数列的综合应用等差 等比数列的综合应用 解综合题要总揽全局 尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件 在后面求解的 过程中适时应用 例例 5 5 2011 2011 年高考浙江卷理科年
14、高考浙江卷理科 19 19 已知公差不为 0 的等差数列 n a的首项 1 aa aR 设 数列的前 n 项和为 n S 且 1 1 a 2 1 a 4 1 a 成等比数列 求数列 n a的通项公式及 n S 记 123 1111 n n A SSSS 2 12 22 1111 n n B aaaa 当2n 时 试比 较 n A与 n B的大小 用心 爱心 专心 7 当2n 时 2012 21 n nnnn CCCCn 即 11 11 12nn 所以当0a 时 nn AB 当0a 时 nn AB 名师点睛名师点睛 本小题主要考查等差等比数列的通项与前 n 项和等基本知识 考查逻辑思维能 力 分
15、析问题和解决问题的能力 备考提示备考提示 熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键 练习练习 5 20115 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 20 20 已知数列已知数列 n a与与 n b满足满足 11 2 1 n nnnn bab a 1 3 1 2 n n bnN 且且 1 2a 求 求 23 a a的值的值 设设 2121nnn caa nN 证明证明 n c是等比数列是等比数列 设设 n S为为 n a的前的前 n n 项和项和 证明证明 21212 12212 1 3 nn nn SSSS nnN aaaa 解析解析 由 1 3 1 2 n n bnN 可得
16、2 1 n n b n 是奇数 是偶数 11 2 1 n nnnn bab a 用心 爱心 专心 8 当 n 1 时 12 21 aa 由 1 2a 得 2 3 2 a 当 n 2 时 23 25 aa 可得 3 8a 证明 对任意nN 21 212 221 n nn aa 2 221 221 n nn aa 得 21 2121 3 2 n nn aa 即 21 3 2 n n c 于是 1 4 n n c c 所以 n c是等比数列 证明 1 2a 由 知 当kN 且2k 时 21131532123 kkk aaaaaaaa 2 3 2 3523 222 k 2 1 21 2 1 4 32 1 4 k k 故对任意kN 由 得 2121 2 2221 kk k a 所以 21 2 1 2 2 k k a kN 因此 21234212 2 kkk k Saaaaaa 于是 2122kkk SSa 21 1 2 2 k k 故 212 212 kk kk SS aa 21 21 1 2 2 2 k k k 21 2 1 2 2 k k 2 22 12 221 k kk kk 1 1 44
