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1、2012年高考数学二轮复习同步练习：专题4 数列1(2011大纲全国卷文，17)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a36,6a1a330，求an和Sn.解析设an的公比为q，由已知有：.解得或(1)当a13，q2时，ana1qn132n1Sn3(2n1)(2)当a12，q3时，ana1qn123n1Sn3n1.综上，an32n1，Sn3(2n1)或an23n1，Sn3n1.2(文)(2011浙江文，19)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR)，且，成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)对nN，试比较与的大小解析(1)设等差数列an的公差为d，由题意可知()2，即(a1d)2
2、a1(a13d)，从而a1dd2因为d0，所以da1a故通项公式anna；(2)记Tn，因为a2k2ka，所以Tn()1()n从而，当a0时，Tn；当a.(理)(2011浙江理，19)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a.(aR)，设数列的前n项和为Sn且，成等比数列(1)求数列an的通项公式及Sn；(2)记An，Bn，当n2时，试比较An与Bn的大小解析设等差数列an的公差为d，由()2，得(a1d)2a1(a13d)因为d0，所以da1a.所以anna，Sn.(2)因为()，所以An(1)因为a2n12n1a，所以Bn(1)，由n2时，2nCCCn1，即10时，AnBn；当aBn.3
3、(2011陕西理，19)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；，Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2，n)(1)试求xk与xk1的关系(2kn)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.解析(1)设Pk1(xk1,0)，由yex得Qk1(xk1，exk1)点处切线方程为yexk1exk1(xxk1)由y0得xkxk11(2kn)(2)由x10，xkxk11，得xk(k1)，所以|PkQk|exke(k1)，于是S
4、n|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(n1).4(2011山东青岛)已知函数f(x)ax2bx(a0)的导函数f(x)2x7，数列an的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图像上(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值；(2)令bn，其中nN*，求nbn的前n项和分析(1)先求a，b，再根据Sn与n的关系求an及Sn的最大值(2)先确定bn，再根据nbn的结构特征求和解析(1)f(x)ax2bx(a0)，f(x)2axb，由f(x)2x7得：a1，b7，所以f(x)x27x，又因为点Pn(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图像上，所以有Sn
5、n27n.当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn12n8，an2n8(nN*)令an2n80得n4，当n3或n4时，Sn取得最大值12.综上，an2n8(nN*)，当n3或n4时，Sn取得最大值12.(2)由题意得b18，bn2n4，所以，即数列bn是首项为8，公比是的等比数列，故nbn的前n项和Tn123222n2n4，Tn12222(n1)2n4n2n3，所以得：Tn23222n4n2n3Tnn24n32(2n)24n.评析本题也是数列与函数的综合应用，求解时，要应用函数的思想，把数列中的关系表示出来，同时要注意运算的准确性5在直角坐标系平面上，点列P1(x1，y1)，P2(x2，y
6、2)，Pn(xn，yn)，对每个正整数n，点Pn都在函数y3x的图像上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn(1)求点Pn的坐标；(2)设抛物线列C1，C2，C3，Cn，中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线Cn的顶点为Pn且过点Dn(0，n21)，记过点Dn且与抛物线Cn相切的直线的斜率为k，求证：.分析(1)利用点(xn，yn)在直线上，代入方程求yn.(2)依题设构建第n条抛物线方程：ya(xxn)2yn，再用点Dn(0，n21)在抛物线上求a.求kn时，借助导数kny|x0.解析(1)Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn，xnx1(n1)d(n1)n，P
7、n(xn，yn)在函数y3x的图像上，yn3xn3(n)3n.Pn的坐标为(n，3n)(2)证明：据题意可设抛物线Cn的方程为：ya(xxn)2yn，由(1)得ya(xn)23n，抛物线Cn过点Dn(0，n21)，n21a(n)23nan2(3a3)n，a1，y(xn)23n，过点Dn且与抛物线Cn相切的直线的斜率为kn，且y2x2n3，kny|x02n3，()，()().评析1.本题体现了数列与解析几何的完美结合，涉及的主要知识点有等差数列的通项公式，裂项法求和，抛物线的方程，用导数求切线的斜率等，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力2此类题目中，解析几何一般只作为载体出现，求解时，要正确
8、解读解析几何语言，把它译成数列的有关关系式，再借助数列知识求解或求证6已知数列an满足an2an12n2(n2，a12)(1)求a2，a3，a4；(2)是否存在一个实数，使得数列成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由(3)(理)求数列an的前n项和Sn，并证明Snn3n2.解析(1)a244210，a3208230，a46016278.(2)假设存在一个实数，使得数列成等差数列，则1恒为常数20，即2.此时2，1，当2时，数列是首项为2，公差为1的等差数列(3)(理)由(2)得(n1)n1，an(n1)2n2，则Sn22322423(n1)2n2n，2Sn222323n2n(n1)2n14n，两式相减得Sn422232n(n1)2n12nn2n12n，Snn2n12n，不难验证，当n1或2时，有Snn3n2，当n3时，Snn2n12n2n(11)n12n1n2n1n1n3n2，综上知Snn3n2.评析(1)求值时，应用常数求解，不需验证而用常数求解时，要验证的值为同一个常数(2)用错位相减法求和时，因运算过程较繁，容易造成运算失误，因此，不但要理解算理，而且应加强练习，熟练运算(3)(理)在证明有关指数式与多项式的关系时，常把指数式用二项式定理展开，然后用放缩法证明不等关系- 6 -用心 爱心 专心
