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1、平面向量的综合运用平阳鳌江中学 梅山该设计立意及思路考试说明指出：“数学学科的考试，按照考查基础知识的同时，注重考查能力的原则”，且“对数学知识的考查，要全面而又突出重点，注意学科内在联系和知识间的综合，学科内在的联系，包括各部分知识在发展过程中的纵向联系，以及各部分之间的横向联系，知识的综合性，则是从学科整体高度考虑问题，在知识网络的交汇处设计试题。”由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从2001年至2004年的高考新课程卷来看，对向量的考查力
2、度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点，如2004年高考福建卷第17题、辽宁卷第19题、全国卷第21题等。因此，研究向量与其它内容的综合运用，对培养学生的能力（尤其是培养学生从学科整体的高度解决问题的综合能力），把握当今高考命题改革趋势，有着重要的意义。本专题将在回顾和梳理基础知识的基础上，突出平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高学生分析问题与综合运用知识解决问题的能力，使学生站在新的高度来认识和理解向量。高考考点回顾一、2005年考纲回放：1、理解向量的概念，掌握向量的几
3、何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法与减法。3、掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握平面两点间的距离方式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。二、高考考点回顾：在高考试题中，对平面向量的考查主要有四个方面：其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算，如2004年浙江省卷第14题，2004年全国高考理科第
4、3题，2004年全国高考理科第14题，2004年湖北高考理科解答题中的第19题。其二考查向量坐标表示，向量的线性运算，如2004年全国高考理科第9题，2004年广东高考第1题，2004年上海高考文科第6题等。其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力，如在2002年全国新课程卷上出现了与数列相结合的题目，2004年福建高考第17题（与三角函数结合），2004年全国卷理第21题（与解析几何结合）等；其四是考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，如2004年重庆卷理科第21题（解析几何题）可借助向量垂直的充要条件进行求解等。基础知识梳理、平面向量知识
5、结构表向量的概念向量的加、减法两个向量平行的充要条件件件向量向量的运算实数与向量的积 两个向量垂直的充要条件件件向量的数量积定比分点公式向量的运用在物理学中的应用在地平移公式在几何中的应用、内容概述1、向量的概念向量是区别于数量的一种量，它由大小和方向两个因素确定，向量有三种表示法：一是用有向线段，二是用字母a或，三是用坐标a（x , y）。注意共线向量（也称平行向量，方向相同或相反的向量）与相等向量（方向相同且模相等）的联系与区别。2、向量的运算向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种。注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示、运算律。3、平面向量的定理及相关性质（1）两个
6、非零向量平行的充要条件： ab ab (R)设a(x1,y1),b (x2,y2)则ab x1y2x2y10（2）两个非零向量垂直的充要条件： ab ab 0设a(x1,y1),b(x2,y2)则ab x1x2y1y20（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使 a1e12e2.（4）三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数、，使，其中1,O为平面内的任一点。4、 常用公式及结论a、向量模的公式：设（x,y）,则b、两点间的距离公式： P1(x1,y1),P2(x2,y2)c、线段的定比分点
7、坐标公式： P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y), d、中点坐标公式： 或 M（x0 ,y0）是线段AB中点e、两向量的夹角公式：cos 0180,a(x1,y1),b(x2,y2)f、图形平移公式：若点P(x,y)按向量a(h,k)平移至(,),则g、有关向量模的常用结论：, 例题讲解类型、平面向量学科内综合运用此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。例1已知a（5，4），b（3，2），则与2a3b平行的单位向量为_。点拨 与一个
8、非零向量a共线的单位向量有两个：与a同向的单位向量e1，与a反向的单位向量e2.求与已知向量平行的向量常用坐标运算。解析 法一：2a3b2(5，4)3（3，2）（1，2） .法二：令e=(x, y) 2a3b（1，2），且e与2a3b平行， x2y0. 又x2y21 由解得.变式 已知b是a（3，4）垂直，且15，求b. （12，9）或（12，9） 例2已知1，1，a与b的夹角为60，x2ab,y3ba，则x与y的夹角是多少？点拨 要计算x与y的夹角，需求出，xy的值,可利用2x2求解。解析 由已知1，a与b的夹角为60, 得 abcos2x2=（2ab）24a24abb24413，2y2=（
9、3ba）29b26aba29617,xy（2ab）(3ba) 7ab2a23b2，又xycos，即cos cos，arccos.变式1 （2004年高考浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足3, 4, 5,则的值等于_。25变式2 已知，2，a和b的夹角为45，求使向量ab与ab的夹角是锐角时的取值范围。或（1）类型、平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的
10、充要条件，利用向量数量积的公式和性质.例3已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间。解析（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0。整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1
11、)，单调递增区间是（，1）和（1，）.归纳 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。变式1 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(sin3), k(sin),且，试求实数k 的取值范围。点拨 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。解析 仿
12、例3（1）解法（二）可得k( sin)2,而1sin1, 当sin1时，k取最大值1； sin1时，k取最小值. 又k0 k的取值范围为 .变式2 已知向量(x,x4)，向量(x2, x), x4,2.(1)试用x表示；2求的最大值，并求此时夹角的大小。(1)x3x26x , (2)最大值为10，此时x=2,arccos 例4（2004年高考福建卷）设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值。分析 本题主
13、要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解析 (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x,2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 归纳 把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径。一般地，函数yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）例5（2002年全国高考新课程卷）已知两点M(1，0)，N(1 , 0)，且点P使，成公差小于零的等差数列.（）点P 的轨迹是什么曲线？（）若点P坐标为（x
