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1、西城区抽样测试高三数学(理科) 2008.1一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合,那么集合等于( )A. B. C. D. 2. 已知,且,那么的值等于( )A. B. C. D. 3. 平面平面的一个充分条件是( )A. 存在一条直线 B. 存在一个平面 C. 存在一个平面 D. 存在一条直线4. 设函数 若,则的取值范围是( )A. B. C. D. 5. 设是公差不为0的等差数列的前项和,且成等比数列,则等于( )A.1 B. 2 C. 3 D. 46. 将编号为1,2,3,4,5的五个球放入
2、编号为1,2,3,4,5的五个盒子,每个盒内放一个球,若恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为( )A. 40种 B. 30种 C. 20种 D. 10种7. 经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线,交椭圆于、两点. 设为坐标原点,则等于( )A. B. C. 或 D. 8. 某水库建有10个泄洪闸. 现在水库的水位已经超过安全线,并且水量还在按照一个不变的速度增加. 为了防洪,需调节泄洪速度 .假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30个小时水位降至安全线;若同时打开两个泄洪闸,10个小时水位降至安全线 .根据抗洪形势,需要用3个小时使水位降至安全线以下,则至
3、少需要同时打开泄洪闸的数目为( )A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 已知的展开式中共有5项,则_,展开式中的常数项为_(用数字作答).10. 已知双曲线的一条渐近线方程为,那么双曲线的离心率为_ .11. 在中,已知,则_ .12. 已知点的坐标满足条件点为坐标原点,那么的最大值等于_,最小值等于_ .13. 已知点,.设于,那么有,其中_ .14. 对于任意实数,定义 设函数,则函数的最大值是_ .三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.1
4、5.(本小题满分12分)已知函数的图象经过点.()求实数的值;()若,且,求的值.16. (本小题满分12分)甲、乙两人进行投篮训练,已知甲投球命中的概率是,乙投球命中的概率是. 假设两人投球命中与否相互之间没有影响.()如果两人各投球1次,求恰有1人投球命中的概率; ()如果两人各投球2次,求这4次投球中至少有1次命中的概率.17.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱中, ,点是的中点.()求证:; ()求点到的距离;()求二面角的大小. 18.(本小题满分14分)已知函数.()写出的单调区间;()解不等式;()设,求在上的最大值.19.(本小题满分14分)设点,动圆经过点且和直线相切 .记
5、动圆的圆心的轨迹为曲线.()求曲线的方程;()过点作互相垂直的直线,分别交曲线于和. 求四边形面积的最小值 .20.(本小题满分14分)在数列中,()若对于,均有成立,求的值; ()若对于,均有成立,求的取值范围; ()请你构造一个无穷数列,使其满足下列两个条件,并加以证明: ; 当为中的任意一项时,中必有某一项的值为1.西城区抽样测试高三数学(理科)参考答案 2008.1一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. A 2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 7. B 8. C二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 10. 11
6、. 12. ; 13. 14. 1注:两空的题目,第一个空2分,第二个空3分.三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分12分)()解:. . 3分依题意得,即, 解得. . 6分()解:由()得依题意得. .9分因为 所以, 所以解得 . 12分16. (本小题满分12分)()解:记 “甲投球1次命中”为事件,“乙投球1次命中”为事件.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率是. . 6分()解: 事件“两人各投球2次均不命中”的概率为, . 9分 两人各投球2次,这4次投球中至少有1次命中的概率为 . 12分17.(本小题满分14分)解法一
7、:()证明:连结,设与的交点为,连结. 是的中点,是的中点, . 3分 . 4分()解: 设点到的距离为在三棱锥中, , 且 . . 6分易求得即点到的距离是 . 9分()解:在平面内作于点, 过点作于点,连结易证明 , 从而是在平面内的射影,根据三垂线定理得 是二面角的平面角. . 12分易求得,在中, 二面角的大小是 . 14分解法二: 在直三棱柱中, ,两两垂直 .如图,以为原点,直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则()证明:设与的交点为,则 . 3分 . 4分()解: 设点到的距离为在三棱锥中, , 且 . . 6分易求得即点到的距离是 . 9分()解:在平面内作于点, 过点作
8、于点,连结易证明 , 从而是在平面内的射影,根据三垂线定理得 是二面角的平面角. . 12分易知 二面角的大小是 . 14分18.(本小题满分14分)()解: 的单调递增区间是; 单调递减区间是. . 3分()解: 不等式的解集为 . 8分()解:(1)当时,是上的增函数,此时在上的最大值是; . 9分(2)当时,在上是增函数,在上是减函数,此时在上的最大值是; . 10分(3)当时,令, 解得. . 11分 当时,此时,在上的最大值是; 当时,此时,在上的最大值是. . 13分综上,当时,在上的最大值是;当时,在上的最大值是;当时,在上的最大值是. . 14分19.(本小题满分14分)()解
9、:过点作垂直直线于点依题意得,所以动点的轨迹为是以为焦点,直线为准线的抛物线, . 4分即曲线的方程是 . 5分()解:依题意,直线的斜率存在且不为,设直线的方程为, 由 得的方程为.将代入 化简得. . 8分设 则 . 10分同理可得 . 11分四边形的面积当且仅当 即时,故四边形面积的最小值是 . 14分20.(本小题满分14分)()解:依题意,所以,解得,或,符合题意. . 3分()解: 解不等式,即, 得所以,要使成立,则 . 4分(1)当时,而,即,不满足题意. . 6分(2)当时,满足题意.综上,. . 8分()解:构造数列:, . . 10分那么 . 不妨设取,那么,. . 12分由,可得, (,).因为,所以.又,所以数列是无