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1、2006年北京市宣武区第一次质量检测高三数学文科试卷(宣武区一模试卷)一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设全集，集合，则a的值为（ ）A. 2B. 8C. D. 2. 若指数函数的反函数的图象经过点（2，），则此指数函数是（ ）A. B. C. D. 3. 若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 若把一个函数的图象按平移后得到函数的图象，则原图象的函数解析式是（ ）A. B. C. D. 5. 二项式的展开式中含的项，则n的一个可能
2、值是（ ）A. 3B. 6C. 5D. 106. 已知直线a和平面在内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是（ ）A. 相交或平行B. 相交或异面C. 平行或异面D. 相交、平行或异面 7. 如果直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则不等式组，所表示的平面区域的面积是（ ）A. B. 1C. D. 2 8. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，。则函数的最大值等于（ ）（“”和“”仍为通常的乘法和减法）A. B. 1C. 6D. 12二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案写在题中的横线上。 9. 在ABC中，已知，三角形面积为12，
3、则_。 10. 若等差数列中，公差，且，则的值是_。 11. 若在R上是奇函数，当时为增函数，且，则不等式的解集是_。 12. 已知椭圆的一个焦点为F（0，2），对应准线为，则_。 13. 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A、B所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有_种。（用数字作答） 14. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使二面角ABDC为60，有如下四个结论：ACBD；点A到平面BCD的距离为；AB与平面BCD成60的角；平面ABC平面ACD。以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的序号）三. 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证
4、明过程或演算步骤。 15. （本小题满分12分）已知。（I）求的值；（II）求的值。 16. （本小题满分13分）育新学校对其网络服务器开放的4个外网络端口的安全进行监控，以便在发现黑客入侵时及时跟踪锁定。根据以往经验，从周一至周五，这4个网络端口各自受到黑客入侵的概率为0.1，求（I）恰有3个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？（II）至少有2个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？ 17. （本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD中，E是BC的中点，平面交于F。（I）指出F在上的位置，并证明；（II）求直线与所成角的余弦值；（III）设P为面上的动点，且，试指出动点P的轨迹，并求出其
5、轨迹所表示的曲线的长度。 18. （本小题满分13分）已知数列的前n项和满足，且（I）求；（II）求的通项公式；（III）令，问数列的前多少项的和最大？ 19. （本小题满分14分）已知函数的图像经过原点O，且在处取得极值，曲线在原点处的切线与直线的夹角为45，且切线的倾斜角为钝角。（I）求的解析式；（II）若函数的图像与函数的图像恰有3个不同交点，求实数m的取值范围。 20. （本小题满分14分）飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30，相距4km，P为航天员着陆点，某
6、一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。（I）求A、C两个救援中心的距离；（II）求在A处发现P的方向角；（III）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，说明理由。参考答案一. 1. B2. C3. A4. D 5. B6. D7. A8. C二. 9. 10. 11. 12. 13. 21614. 三. 15. 解：（I）6分（II）12分 16. 解：（I）6分（II）“至少有2个网络端口被入侵”的对立事件为“没有和有1个网络端口被入侵”，因此13分 17. 解
7、法一：（I）F为的中点，由正方体知面ABCD面面面ABCDDE面面DE，同理DF四边形为平行四边形，又F为的中点5分 （II）过点C作CHDE交AD的延长线于H，连结，则与所成的角就等于与CH所成的锐角。又在中，即直线与所成角的余弦值为10分（III）AB面，面ABBPRtABP中，点P的轨迹是以B为圆心，1为半径的四分之一圆所求曲线的长度等于14分解法二：（I）以A为原点建立空间直角坐标系Axyz。面ABCD面，面面，面面ABCDDE又D（0，1，0），E（1，0），（1，0，1）设，则F为的中点5分（II）（0，0，1），C（1，1，0），则与所成角的余弦值为10分（III）同解法一。14
8、分 18. 解：（I）又3分（II）当时，是公差为2的等差数列8分（III），易见是递减数列令故的前10项和最大13分 19. 解：（I）由的图像过原点得在处取得极值在原点处切线的斜率，且又曲线在原点处的切线与直线的夹角为45由可求得，7分（II）若函数的图像与函数的图像恰有3个不同的交点，即方程，亦即恰有3个不等实根。是上述方程的一个根方程有两个非零且不等实根解得：，或，或所以当实数时，函数的图像与函数的图像恰有3个不同交点。14分 20. 解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则则即A、C两个救援中心的距离为4分（II），所以P在BC线段的垂直平分线上又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且双曲线方程为BC的垂直平分线的方程为联立两方程解得：PAB120所以P点在A点的北偏西30处9分 （III）如图，设又即A、B收到信号的时间差变小14分用心 爱心 专心 116号编辑 10
