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1、专题三高考数列命题动向高考命题分析数列是高中数学的重要内容之一，是衔接初等数学与高等数学的桥梁，在高考中的地位举足轻重，近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查，并且创意不断，常考常新了解高考中数列问题的命题规律，掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法，针对性地开展数列知识的复习和训练，对于在高考中取得理想的成绩具有十分重要的意义高考命题特点在新课标高考中，数列内容的主要考点包括三个方面：一是数列的有关概念；二是等差数列的定义、通项公式与前n项和公式；三是等比数列的定义、通项公式与前n项和公式其中，数列的有关概念是了解级要求，等差数列和等比数列一般是掌握级要求根据考试说明中“重视数学基
2、本能力和综合能力的考查”的精神，高考对数列的考查呈现出综合性强、立意新、难度大的特点，注重在知识交汇点处设计试题，如常常与函数、方程、不等式、三角变换、解析几何、导数、推理与证明等内容有机地结合在一起，既重视对数列的基础知识的考查，又突出对数学思想方法和数学能力的考查高考动向透视等差、等比数列的基本运算等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程(组)；巧妙运用等差、等比数列的性质【示例1】(
3、2011江西)设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和若S10S11，则a1()A18 B20 C22 D24解析由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.故选B.答案B 本小题主要考查等差数列的通项、性质、前n项和以及数列的通项和前n项和的关系，解题的突破口是由S10S11得出a110.【训练】 (2011天津)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110 B90 C90 D110解析因为a7是a3与a9的等比中项，所以aa3a9，又因为公差为2，所以(a112)2(a14
4、)(a116)，解得a120，通项公式为an20(n1)(2)222n.所以S105(202)110，故选D.答案D等差、等比数列的判定等差、等比数列的判定通常作为解答题的第1问来考查，一般用下面的基本方法来判定：利用定义：an1an常数，或常数；利用中项的性质：2anan1an1(n2)或aan1an1(n2)【示例2】(2011银川模拟)已知数列an满足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)证明：数列an1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明an23an12an，an2an12(an1an)，a11，a23，2(nN*)an1an是以a2a12为首项，2为公比
5、的等比数列(2)解由(1)得an1an2n(nN*)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1(nN*) 本题主要考查等比数列的判定及数列求和，同时考查推理论证能力及转化化归能力有关数列求和的考查数列的求和是高考重点考查的内容，也是考纲明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即问题的解答常用的方法可以归纳为几种因此，考生有效地化归问题是正确解题的前提，合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝，这部分内容在高考中既有以选择题、填空题形式的简单考查，也有以解答题重点考查的情况出现数列
6、求和主要是分析通项，然后根据通项选择相应的求和方法【示例3】(2011新课标全国)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和解(1)设数列an的公比为q.由a9a2a6得a9a，所以q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21，得2a13a1q1，所以a1.故数列an的通项公式为an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2.2.所以数列的前n项和为. 本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能
7、力对于通项公式，可以利用基本量求出首项和公比；对于数列求和，可通过对数运算求出bn，然后利用裂项求和有关数列与不等式的综合考查数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养【示例4】(2011浙江)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR)，且，成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)对nN*，试比较与的大小解(1)设等差数列an的公差为d，由
8、题意可知2，即(a1d)2a1(a13d)，从而a1dd2.因为d0，所以da1a.故通项公式anna.(2)记Tn，因为a2n2na，所以Tn.从而，当a0时，Tn；当a0时，Tn. 本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力【训练】 已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*满足关系式2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是bn，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn1.(1)解由已知得(n2)故2(SnSn1)2an3an3an1，即an3an1(n2)故数列an
9、为等比数列，且公比q3.又当n1时，2a13a13，a13，an3n.(2)证明bn.Tnb1b2bn11.考查数列的综合问题以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大【示例5】(2011天津)已知数列an与bn满足bn1anbnan1(2)n1，bn，nN*，且a12.(1)求a2，a3的值；(2)设cna2n1a2n1，nN*，证明cn是等比数列；(3)设Sn为an的前n项和，证明n(nN*)(1)解由bn，nN*，可得bn又bn1anbnan1(2)n1，当n1时，a12a21，由a12，
10、可得a2；当n2时，2a2a35，可得a38.(2)证明对任意nN*，a2n12a2n22n11，2a2na2n122n1.，得a2n1a2n1322n1，即cn322n1，于是4.所以cn是等比数列(3)证明a12，由(2)知，当kN*且k2时，a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5)(a2k1a2k3)23(2232522k3)2322k1，故对任意kN*，a2k122k1.由得22k12a2k22k11，所以a2k22k1，kN*.因此，S2k(a1a2)(a3a4)(a2k1a2k).于是，S2k1S2ka2k22k1.故1.所以，对任意nN*.nnn. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大 5
