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1、第7讲抛物线【2013年高考会这样考】1考查抛物线定义、标准方程2考查抛物线的焦点弦问题3与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用基础梳理1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线其数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离)2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py
2、(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向 向右向左向上向下焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0一个结论焦半径：抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0.两种方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2ax(a0)，焦点在y轴的，设为x2by(b0)双
3、基自测1(人教A版教材习题改编)抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1 B2 C4 D8解析由2p8得p4，即焦点到准线的距离为4.答案C2(2012金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是()Ax212y Bx212yCy212x Dy212x解析3，p6，x212y.答案A3(2011陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x2，则抛物线的方程是()Ay28x By24x Cy28x Dy24x解析由准线方程x2，顶点在原点，可得两条信息：该抛物线焦点为F(2,0)；该抛物线的焦准距p4.故所求抛物线方程为y28x.答案C4(2012西安月考)设抛物线y28x上一点
4、P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12解析据已知抛物线方程可得其准线方程为x2，又由点P到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP4，由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|xPxP2426.答案B5(2012长春模拟)抛物线y28x的焦点坐标是_解析抛物线方程为y28x，2p8，即p4.焦点坐标为(2,0)答案(2,0)考向一抛物线的定义及其应用【例1】(2011辽宁)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1 C. D.审题视点 由抛物线定义将|AF|BF|转化
5、为线段AB的中点到准线的距离即可解析设抛物线的准线为l，作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知|AA1|BB1|AF|BF|3，则AB的中点到y轴的距离为(|AA1|BB1|).答案C 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解【训练1】 (2011济南模拟)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.解析由抛物线的定义知，点P到该抛物线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点
6、(0,2)的距离与点P到焦点的距离之和，显然，当P、F、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于 .答案A考向二抛物线的标准方程及性质【例2】(1)(2011南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(2，4)的抛物线方程为_(2)(2010浙江)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_审题视点 (1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论(2)抓住FA的中点B在抛物线上，求出p.解析(1)由于点P在第三象限当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y22px(p0
7、)，把点P(2，4)代入得：(4)22p(2)，解得p4，抛物线方程为y28x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x22py(p0)，把点P(2，4)代入得：(2)22p(4)解得p.抛物线方程为x2y.综上可知抛物线方程为y28x或x2y.(2)抛物线的焦点F的坐标为，则线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得12p，解得p，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为.答案(1)y28x或x2y(2) 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程【训练2】 已知F为抛
8、物线x22py(p0)的焦点，M为其上一点，且|MF|2p，则直线MF的斜率为()A B C D解析依题意，得F，准线为y，过点M作MN垂直于准线于N，过F作FQ垂直于MN于Q，则|MN|MF|2p，|MQ|p，故MFQ30，即直线MF的倾斜角为150或30，斜率为或.答案B考向三抛物线的综合应用【例3】(2011江西)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值审题视点 (1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系
9、式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解解(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)；设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0，或2. 本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，
10、设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化【训练3】 设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值(1)解F(1,0)，直线L的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，x1x21.|AB|8.(2)证明设直线L的方程为xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值阅卷报告14忽视“判别式”致误【问题诊断】 由于
11、“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.【防范措施】 解题后任何情况下都来检验判别式.【示例】(2010福建)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由实录(1)将点A(1，2)代入y22px，得p2，故所求抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.错因遗漏判别
12、式的应用(2)假设存在直线l，设l：y2xt，由直线OA与l的距离d，得，解得t1.故符合题意的直线l存在，其方程为2xy10或2xy10.正解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.【试一试】 (2012杭州模拟)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，F2也
13、是抛物线C2：y24x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|.(1)求C1的方程；(2)平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若0，求直线l的方程尝试解答(1)由C2：y24x，知F2(1,0)，设M(x1，y1)，M在C2上，因为|MF2|，所以x11，得x1，y1.所以M.M在C1上，且椭圆C1的半焦距c1，于是消去b2并整理得9a437a240.解得a2.故b2413.故椭圆C1的方程为1.(2)由，知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为lMN，所以l与OM的斜率相同故l的斜率k.设l的方程为y(xm)由消去y并整理得9x216mx8m240.
