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1、第5讲数列的综合应用【2013年高考会这样考】1考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力【复习指导】1熟练把握等差数列与等比数列的基本运算2掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等3注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法基础梳理1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等
2、比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变
3、化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等
4、内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)数列与不等式结合时需注意放缩(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想双基自测1(人教A版教材习题改编)已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()A4 B6 C8 D10解析由题意知：aa1a4.则(a22)2(a22)(a24)，解得：a26.答案B2(2011运城模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若a11，且4a1,2a2，a3成等差数列，则
5、S4()A7 B8 C15 D16解析设数列an的公比为q，则4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，q2.S415.答案C3已知数列an是各项均为正数的等比数列，数列bn是等差数列，且a6b7，则有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9与b4b10的大小关系不确定解析记等比数列an的公比为q(q0)，由数列bn为等差数列可知b4b102b7，又数列an是各项均为正数的等比数列，a3a9a3(1q6)a6b7，又q32(当且仅当q1时，等号成立)，a3a92b7，即a3a9b4b10.答案B4若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b
6、成等比数列，且a3bc10，则a()A4 B2 C2 D4解析由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2bac，即2cq2cqc，又等比数列中c0，所以2q2q10，解一元二次方程得q1(舍去，否则三个实数相等)或q，又a3bca3aqa10，所以a4.答案D5(2012苏州质检)已知等差数列的公差d0，前n项和记为Sn，满足S200，S210，则当n_时，Sn达到最大值解析S2010(a1a20)10(a10a11)0，S2121a110，a100，a110，n10时，Sn最大答案10考向一等差数列与等比数列的综合应用【例
7、1】在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项an；(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列审题视点 第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得an12(n1)22n10.(2)证明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4.bn是首项是4，公比q4的等比数列 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法【训练1】 数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(n1)(
8、1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.解(1)由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，两式相减得an1an2an，则an13an(n2)又a22S113，a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为d，由T315，b1b2b315，可得b25，故可设b15d，b35d，又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d12，d210.等差数列bn的各项为正，d0，d2，b13，Tn3n2n22n.考向二数列与函数的综合应用【例2】(2
9、012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.审题视点 第(1)问将点(n，Sn)代入函数解析式，利用anSnSn1(n2)，得到an，再利用a1S1可求r.第(2)问错位相减求和解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.T
10、n，Tn，两式相减得Tn，Tn. 此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等【训练2】 (2011福建)已知等比数列an的公比q3，前3项和S3.(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在x处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式解(1)由q3，S3得，解得a1.所以an3n13n2.(2)由(1)可知an3n2，所以a33.因为函数f(x)的最大值为3，所以A3；因为当x时f(x)取得最大值，所以sin1.又0，故.所以函数f(x)的解析式为f(x)3sin.考向三数列与不等式的综合应用【
11、例3】(2011惠州模拟)在等比数列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn；(3)是否存在kN*，使得k对任意nN*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由审题视点 第(1)问由等比数列的性质转化为a3a5与a3a5的关系求a3与a5；进而求an；第(2)问先判断数列bn，再由求和公式求Sn；第(3)问由确定正负项，进而求的最大值，从而确定k的最小值解(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，(a3a5)225，又an0，
12、a3a55，又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51，q，a116，an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn.(3)由(2)知Sn，.当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0.当n8或9时，18最大故存在kN*，使得k对任意nN*恒成立，k的最小值为19. 解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应
13、关系进行灵活的处理【训练3】 (2012岳阳模拟)已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n150成立的正整数n的最小值(1)解设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，a2a420，所以解之得或又数列an单调递增，所以q2，a12，数列an的通项公式为an2n.(2)因为bn2nlog2nn2n，所以Sn(12222n2n)，2Sn122223(n1)2nn2n1，两式相减，得Sn222232nn2n12n12n2n1.要使Snn2n150，即2n1250，即2n152.易知：当n4时，2n1253252；
