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1、第5讲数列的综合应用【2013年高考会这样考】1考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力【复习指导】1熟练把握等差数列与等比数列的基本运算2掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想,如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等3注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法基础梳理1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差;(2)a1和d可以为零;(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系;(2)结果都必须是同一个常数;(3)数列都可由a1,d或a1,q确定等
2、比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比;(2)a1与q均不为零;(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料,认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变
3、化而变化时,应考虑是an与an1的递推关系,还是Sn与Sn1之间的递推关系一条主线数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系,优化组合,无形中加大了综合的力度解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解,有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列,但有的数列并没有指明,可以通过分析,转化为等差数列或等比数列,然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题(2)数列是一种特殊的函数,故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列,它们是研究数列性质的基础,它们与函数、方程、不等式、三角等
4、内容有着广泛的联系,等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用,随着高考对能力要求的进一步增加,这一部分内容也将受到越来越多的关注三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)数列与不等式结合时需注意放缩(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想双基自测1(人教A版教材习题改编)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2的值为()A4 B6 C8 D10解析由题意知:aa1a4.则(a22)2(a22)(a24),解得:a26.答案B2(2011运城模拟)等比数列an的前n项和为Sn,若a11,且4a1,2a2,a3成等差数列,则
5、S4()A7 B8 C15 D16解析设数列an的公比为q,则4a24a1a3,4a1q4a1a1q2,即q24q40,q2.S415.答案C3已知数列an是各项均为正数的等比数列,数列bn是等差数列,且a6b7,则有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9与b4b10的大小关系不确定解析记等比数列an的公比为q(q0),由数列bn为等差数列可知b4b102b7,又数列an是各项均为正数的等比数列,a3a9a3(1q6)a6b7,又q32(当且仅当q1时,等号成立),a3a92b7,即a3a9b4b10.答案B4若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b
6、成等比数列,且a3bc10,则a()A4 B2 C2 D4解析由c,a,b成等比数列可将公比记为q,三个实数a,b,c,待定为cq,cq2,c.由实数a、b、c成等差数列得2bac,即2cq2cqc,又等比数列中c0,所以2q2q10,解一元二次方程得q1(舍去,否则三个实数相等)或q,又a3bca3aqa10,所以a4.答案D5(2012苏州质检)已知等差数列的公差d0,前n项和记为Sn,满足S200,S210,则当n_时,Sn达到最大值解析S2010(a1a20)10(a10a11)0,S2121a110,a100,a110,n10时,Sn最大答案10考向一等差数列与等比数列的综合应用【例
7、1】在等差数列an中,a1030,a2050.(1)求数列an的通项an;(2)令bn2an10,证明:数列bn为等比数列审题视点 第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an;第(2)问利用定义证明(1)解由ana1(n1)d,a1030,a2050,得方程组解得an12(n1)22n10.(2)证明由(1),得bn2an1022n101022n4n,4.bn是首项是4,公比q4的等比数列 对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法【训练1】 数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1(n1)(
8、1)求an的通项公式;(2)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T315,又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列,求Tn.解(1)由an12Sn1,可得an2Sn11(n2),两式相减得an1an2an,则an13an(n2)又a22S113,a23a1.故an是首项为1,公比为3的等比数列,an3n1.(2)设bn的公差为d,由T315,b1b2b315,可得b25,故可设b15d,b35d,又a11,a23,a39,由题意可得(5d1)(5d9)(53)2,解得d12,d210.等差数列bn的各项为正,d0,d2,b13,Tn3n2n22n.考向二数列与函数的综合应用【例2】(2
9、012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图象上(1)求r的值;(2)当b2时,记bn(nN*),求数列bn的前n项和Tn.审题视点 第(1)问将点(n,Sn)代入函数解析式,利用anSnSn1(n2),得到an,再利用a1S1可求r.第(2)问错位相减求和解(1)由题意,Snbnr,当n2时,Sn1bn1r,所以anSnSn1bn1(b1),由于b0且b1,所以n2时,an是以b为公比的等比数列,又a1br,a2b(b1),b,即b,解得r1.(2)由(1)知,nN*,an(b1)bn12n1,所以bn.T
10、n,Tn,两式相减得Tn,Tn. 此类问题常常以函数的解析式为载体,转化为数列问题,常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等【训练2】 (2011福建)已知等比数列an的公比q3,前3项和S3.(1)求数列an的通项公式;(2)若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在x处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式解(1)由q3,S3得,解得a1.所以an3n13n2.(2)由(1)可知an3n2,所以a33.因为函数f(x)的最大值为3,所以A3;因为当x时f(x)取得最大值,所以sin1.又0,故.所以函数f(x)的解析式为f(x)3sin.考向三数列与不等式的综合应用【
11、例3】(2011惠州模拟)在等比数列an中,an0(nN*),公比q(0,1),且a1a52a3a5a2a825,又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式;(2)设bnlog2an,求数列bn的前n项和Sn;(3)是否存在kN*,使得k对任意nN*恒成立,若存在,求出k的最小值,若不存在,请说明理由审题视点 第(1)问由等比数列的性质转化为a3a5与a3a5的关系求a3与a5;进而求an;第(2)问先判断数列bn,再由求和公式求Sn;第(3)问由确定正负项,进而求的最大值,从而确定k的最小值解(1)a1a52a3a5a2a825,a2a3a5a25,(a3a5)225,又an0,
12、a3a55,又a3与a5的等比中项为2,a3a54,而q(0,1),a3a5,a34,a51,q,a116,an16n125n.(2)bnlog2an5n,bn1bn1,b1log2a1log216log2244,bn是以b14为首项,1为公差的等差数列,Sn.(3)由(2)知Sn,.当n8时,0;当n9时,0;当n9时,0.当n8或9时,18最大故存在kN*,使得k对任意nN*恒成立,k的最小值为19. 解决此类问题要抓住一个中心函数,两个密切联系:一是数列和函数之间的密切联系,数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究函数问题的基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应
13、关系进行灵活的处理【训练3】 (2012岳阳模拟)已知单调递增的等比数列an满足:a2a3a428,且a32是a2,a4的等差中项(1)求数列an的通项公式;(2)若bnanlogan,Snb1b2bn,求使Snn2n150成立的正整数n的最小值(1)解设等比数列an的首项为a1,公比为q.依题意,有2(a32)a2a4,代入a2a3a428,可得a38,a2a420,所以解之得或又数列an单调递增,所以q2,a12,数列an的通项公式为an2n.(2)因为bn2nlog2nn2n,所以Sn(12222n2n),2Sn122223(n1)2nn2n1,两式相减,得Sn222232nn2n12n12n2n1.要使Snn2n150,即2n1250,即2n152.易知:当n4时,2n1253252;