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1、第4讲数列求和【2013年高考会这样考】1考查非等差、等比数列求和的几种常见方法2通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力【复习指导】1熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式2熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性基础梳理数列求和的常用方法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的
2、前n项和公式即是用此法推导的3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和5分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一
3、种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和两个提醒在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项三个公式(1)；(2)；(3).双基自测1(人教A版教材习题改编)等比数列an的公比q，a81，则S8() A254 B255 C256 D257解析由a81，q得a127，S8281255.答案B2(2011潍坊模拟)设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比
4、数列，则an的前n项和Sn()A. B. C. Dn2n解析由题意设等差数列公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，aa1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d，Snna1dn.答案A3(2011北京海淀模拟)等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为()A120 B70C75 D100解析Snn(n2)，n2.数列前10项的和为：(1210)2075.答案C4(2011沈阳六校模考)设数列(1)n的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn()A. B.C. D.解析因为数列(1)n是首项与公比均为1的等
5、比数列，所以Sn.答案D5若Sn1234(1)n1n，S50_.解析S5012344950(1)2525.答案25考向一公式法求和【例1】已知数列an是首项a14，公比q1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，2a3成等差数列(1)求公比q的值；(2)求Tna2a4a6a2n的值审题视点 求出公比，用等比数列求和公式直接求解解(1)由题意得2a54a12a3.an是等比数列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首项为a24(1)4，公比为q21的等比数列，Tnna24n. 应用公式法求和时，要保证
6、公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式【训练1】 在等比数列an中，a39，a6243，求数列an的通项公式an及前n项和公式Sn，并求a9和S8的值解在等比数列an中，设首项为a1，公比为q，由a39，a6243，得q327，q3.由a1q2a3，得9a19，a11.于是，数列an的通项公式为an13n13n1，前n项和公式为Sn.由此得a93916 561，S83 280.考向二分组转化求和【例2】(2012包头模拟)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项
7、和Sn的公式审题视点 第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解解(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12. 对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和【训练2】 求和Sn1.解和式中第k项为ak12.Sn2222n2.考向三裂项相消法求和【例3】在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足S
8、an.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.审题视点 第(1)问利用anSnSn1(n2)后，再同除Sn1Sn转化为的等差数列即可求Sn.第(2)问求出bn的通项公式，用裂项相消求和解(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn. 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的【训练3】 在数
9、列an中，an，又bn，求数列bn的前n项和Sn.解an.bn8.Sn88.考向四错位相减法求和【例4】(2011辽宁)已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和审题视点 第(1)问列出关于首项a1与公差d的方程组可求解；第(2)问观察数列的通项采用错位相减法解(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn，Sn.记Tn1，则Tn，得：Tn1，Tn.即Tn4.Sn444. 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“q
10、Sn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式【训练4】 设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得：3n1an，an.当n1时，a1也适合上式，an.(2)bnn3n，Sn13232333n3n，则3Sn32233334n3n1，得：2Sn332333nn3n1n3n1(13n)n3n1.Sn(13n).阅卷报告7未对q1或q1讨论出错【问题诊断】 错位相减法适合于一个由等差数列an及一个等比数列
11、bn对应项之积组成的数列考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等【防范措施】 两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n1项是一个等比数列【示例】(2010四川)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.错因未对q1或q1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误实录(1)由已知得即解得a1
12、3，d1，an4n.(2)由(1)知bnnqn1，Sn12q13q2nqn1，qSn1q2q23q3nqn，两式相减得：(1q)Sn1qq2qn1nqnnqn.Sn.正解(1)设an的公差为d，则由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n.(2)由(1)知，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式两边同乘以q.qSn1q12q2(n1)qn1nqn，两式相减得：(1q)Sn1q1q2qn1nqnnqn.Sn.若q1，则Sn123n，Sn【试一试】 (2011齐齐哈尔模拟)已知数列an是首项为a1，公比q的等比数列，设bn23logan(nN*)，数列cn满足cnanbn.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列cn的前n项和Sn.尝试解答(1)由题意，知ann(nN*)，又bn3logan2，故bn3n2(nN*)(2)由(1)，知ann，bn3n2(nN*)，cn(3n2)n(nN*)Sn14273
