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1、 (时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1(2011潍坊模拟)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B. C. D.解析:一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成,由题意知,蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域,则所求概率P.答案:C2在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为一边作正方形,则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2 之间的概率为()A. B.C. D.解析:正方形的面积介
2、于36 cm2与81 cm2之间,所以正方形的边长介于6 cm到9 cm之间线段AB的长度为12 cm,则所求概率为.答案:C3四边形ABCD为长方形,AB2,BC1,O为AB的中点在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1解析:如图,根据几何概型概率公式得概率为P1.答案:B4若a,b在区间0,上取值,则函数f(x)ax3bx2ax在R上有两个相异极值点的概率是()A. B.C. D1解析:易得f(x)3ax22bxa,函数f(x)ax3bx2ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a0且其导函数的判别式大于0,即a0且4b212a20,又a,b在区
3、间0,上取值,则a0,ba,满足点(a,b)的区域如图中阴影部分所示,其中正方形区域的面积为3,阴影部分的面积为,故所求的概率是.答案:C5在区域内任取一点P,则点P落在单位圆x2y21内的概率为()A. B.C. D.解析:区域为ABC内部(含边界),则概率为P.答案:D6已知正三棱锥SABC的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得VPABCVSABC的概率是()A. B.C. D.解析:当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求,由几何概型知,P1.答案:A二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7(2011南通、扬州、泰州模拟)在RtABC中,A90,AB1
4、,BC2.在BC边上任取一点M,则AMB90的概率为_解析:如图,在RtABC中,作AMBC,M为垂足由题意知:AB1,BC2,可得BM,则AMB90的概率为:P.答案:8设0a2,0b的概率是_解析:由e得5,即5,b2a,在直角坐标系aOb内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示,则阴影部分的面积为1,图中矩形的面积为2,由几何概型概率公式计算得所求的概率为.答案:9(2011广州模拟)图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积是_解析:设长方体的高为h,
5、则图(2)中虚线围成的矩形长为22h,宽为12h,面积为(22h)(12h),展开图的面积为24h;由几何概型的概率公式知,得h3,所以长方体的体积是V133.答案:3三、解答题(共3小题,满分35分)10在等腰RtABC中,过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D,求ADAC的概率解:射线CD在ACB内是均匀分布的,故ACB90可看成试验的所有结果构成的区域,在线段AB上取一点E,使AEAC,则ACE67.5可看成事件构成的区域,所以满足条件的概率为.11投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0,两个面标的数字是2,两个面标的数字是
6、4.将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C:x2y210上的概率;(2)若以落在区域C:x2y210上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M.在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域M上的概率解:(1)点P的坐标有:(0,0),(0,2),(0,4),(2,0),(2,2),(2,4),(4,0),(4,2),(4,4),共9种,其中落在区域C:x2y210上的点P的坐标有:(0,0),(0,2),(2,0),(2,2),共4种故点P落在区域C:x2y210上的概率为.(2)区域M为一个边长为2的正方形,其面积为4,区域C的面积为10,则豆子落在区域M上的概率为.12在区间0,1上任意取两个实数a,b,求函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率解:f(x)x2a0,故函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点等价于f(1)f(1)0,即(ab)(ab)0,得(ab)(ab)0,又0a1,0b1,所以得画出不等式组表示的区域,如图阴影部分,由得令a0,代入ab0,得所以阴影部分的面积为1.所以P.- 5 -用心 爱心 专心