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1、 (时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()A必要但不充分条件 B充分但不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析:若ax2by2c表示双曲线,即1表示双曲线,则0,这就是说“ab0”是必要条件,然而若ab0,c可以等于0,即“ab0,b0),由题意知c3,a2b29,设A(x1,y1),B(x2,y2)则有:两式作差得:,又AB的斜率是1,所以将4b25a2代入a2b29得a24,b25,所以双曲线标准方程是1.答案:B二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7(2010福建高考)若双曲线1
2、(b0)的渐近线方程为yx,则b等于_解析:1的渐近线方程为ybx,yx,b,b1.答案:18(2010北京高考)已知双曲线1的离心率为2,焦点与椭圆1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_;渐近线方程为_解析:椭圆的焦点坐标为(4,0),(4,0),故c4,且满足2,故a2,b2.所以双曲线的渐近线方程为yxx.答案:(4,0),(4,0)yx9P为双曲线x21右支上一点,M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点,则|PM|PN|的最大值为_解析:双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为r12,r21,|PM|max|PF1|2,|PN|min
3、|PF2|1,故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案:5三、解答题(共3小题,满分35分)10已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2y210相交于点P(3,1),若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程解:切点为P(3,1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,两渐近线方程为3xy0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3,1)在双曲线上,代入上式可得80,所求的双曲线方程为1.11设双曲线1的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1、l
4、2的方程;(2)若A、B分别为l1、l2上的点,且2|AB|5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线解:(1)e2,c24a2,c2a23,a1,c2.双曲线方程为y21,渐近线方程为yx.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y)2|AB|5|F1F2|,|AB|F1F2|2c10,10.又y1x1,y2x2,2xx1x2,2yy1y2,y1y2(x1x2),y1y2(x1x2), 10,3(2y)2(2x)2100,即1.则M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为10,短轴长为的椭圆12(2011广州模拟)如图,在以点O为圆心,AB为直
5、径的半圆中,D为半圆弧的中点,P为半圆弧上一点,且AB4,POB30,双曲线C以A、B为焦点且经过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,若OEF的面积不小于2,求直线l的斜率的取值范围解:(1)以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则点A(2,0),B(2,0),P(,1)设双曲线实半轴长为a, 虚半轴长为b,半焦距为c,则2a|PA|PB|2,2c|AB|4,所以a,c2,从而b2c2a22,故双曲线C的方程是1.(2)据题意可设直线l的方程为ykx2,代入双曲线C的方程得,x2(kx2)22,即(1k2)x24kx60.因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,则即设点E(x1,y1),F(x2,y2),则x1x2,x1x2.所以|EF|.又原点O到直线l的距离d,所以SOEFd|EF|.因为SOEF2,则2k4k220,解得k.综上分析,直线l的斜率的取值范围是,1)(1,1)(1, - 5 -用心 爱心 专心