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1、2006年上海市普通高等学校春季招生考试卷一. 填空题（本大题满分048分）1. 计算： .2. 方程的解 . 3. 函数的反函数 .4. 不等式的解集是 .5. 已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 点，则的取值范围是 .6. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则 当时， .7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . 9. 在中，已知，三角形面积为12，则 .10. 若向量的夹角为，则 .11. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交
2、于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列 满足，则 （结论用数学式子表示）.二选择题（本大题满分016分）13. 抛物线的焦点坐标为( ) （A）. （B）. （C）. （D）.14. 若，则下列不等式成立的是( ) （A）. （B）. （C）.（D）.15. 若，则“”是“方程表示双曲线”的( ) （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.16. 若集
3、合，则AB等于( ) （A）. （B）. （C）. （D）.三解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分12分) 已知复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知函数. （1）若，求函数的值； （2）求函数的值域. 20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方
4、案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方. 22. (本题满分18分)本题共有3
5、个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 参考答案及评分标准一（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1. . 2. 2. 3. . 4. . 5. . 6. . 7. 48. 8. . 9. . 10. 2. 11. 4. 12. 和 二（第13至16
6、题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 题 号13141516 代 号BCAB 三（第17至22题）17. 解法一 连接， 为异面直线与所成的角. 4分 连接，在中， 6分 则 . 10分 异面直线与所成角的大小为. 12分解法二 以为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 2分 则 ， 得 . 6分 设与的夹角为， 则， 10分 与的夹角大小为， 即异面直线与所成角的大小为. 12分18. 解法一 ， 4分 . 8分 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是. 12分 解法二 设 ， 得 ， 4分 以下解法同解法一.19. 解（1
7、）， 2分 4分 . 8分 （2）， 10分 ， ， ， 函数的值域为. 14分20. 解（1）设曲线方程为， 由题意可知，. . 4分 曲线方程为. 6分 （2）设变轨点为，根据题意可知 得 ， 或（不合题意，舍去）. . 9分 得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为， 11分 . 答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令. 14分21. 解（1） 4分 （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 8分 由于. 10分 （3）解法一 当时，. ， 12分 . 又， 当，即时，取， . ， 则. 14分 当，即时，取， . 由 、可知，当时，. 因此，在区间
8、上，的图像位于函数图像的上方. 16分 解法二 当时，.由 得， 令 ，解得 或， 12分在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. 14分 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 16分22. 解（1）. 4分 （2）， 8分 ， 当时，. 12分 （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 16分研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 18分用心 爱心 专心 116号编辑 7
