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1、高三数学同步测试（12）直线、平面、解几何体说明：本试卷分第卷和第卷两部分，共150分；答题时间120分钟.第I卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1空间四点A、B、C、D，若直线ABCD，ABD，ADBC同时成立，则A、B、C、D四点的位置关系是（ ）A一定共面B不一定共面C一定不共面D这样的四点不存在2在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（ ）A点P必在直线AC上B点P必在直线BD上C点P必在平面ABC内D点P必在平面ABC外3正方体ABCDA1B1C1D1，E
2、，F分别是正方形A1B1C1D1和 ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是 （ ）A60B45C30D904（05年高考湖南卷）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长 为1，E是A1B1的中点，则E到平面AB C1D1的距离为（ ）ABCD 5已知过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离等于球半径R的一半，且AB=BC=CA=2， 则球面积S=4R2= （ ）ABC4D6已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围 （ ）ABCD或7将半径为R的圆剪去如图所示的阴影部分（AC，BD为圆的直径），沿图所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥铡面与底面所成的二面角的余弦值是 （ ）A
3、B2CD8圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，侧面积为2，则过两条母线的截面的 最大面积为（ ）A2B3CD9半径为2的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ）A4 cmB2 cmCcmDcm11函数f(x)满足且 成等差数列，则x的值是（ ）A2B3C2和3D2和310一条线段的两端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两个平面所成角的和（ ）A等于90B大于90C不大于90D不小于9012三棱锥PABC的高PO=8，AC=BC=3，ACB=30， M，N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，试问下面的四个图象中哪个图象大致描绘了三棱锥NAMC的体积V与
4、x的变化关系（如图） （ ）A B C D第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13（05年高考湖南卷）已知平面和直线，给出条件：；. （）当满足条件 时，有；（）当满足条件 时，有.（填所选条件的序号）； 14用半径2R的圆柱形铁罐作一种半径为R的球形新产品的外包装，一听四个，铁罐的高度至少应为 ；15已知三棱锥ABCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2，设面ABC和面DBC所成的二面角是，则sin= ； 16如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中选出两条棱和两条面的对角线，使这四条线段所在的直线
5、两两都是异面直线，如果我们选定一条面的对角线AB1，那么另外三条线段可以是 .（只需写出一种情况即可）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）如图，在多面体中BA平面ACD，ED平面ACD . AC=AD=CD=2， ED=2，AB=，F 为CE的中点.（）（文、理）求证：BF平面CDE； （）（文、理）求该多面体的体积； （）（理）求平面BCE与平面ACD所成的锐二面角的大小.18（本小题满分12分）已知P、Q、M分别是45的二面角l的面、和棱l上的点，直线MQ是直线PQ在上的射影（如图），若PQ和成角，l和MQ成角，PM=a
6、，求PQ的长.Ml19（本小题满分12分）一块铁板长为80cm，宽为50cm，从四角处截掉四个同样的正方形，然后做成一个无盖的水箱，问正方形边长为多少时，使水箱容积最大？20（05年高考全国卷I，本大题满分12分）已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.21（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都是2，侧棱与底面成60的角，且侧面ABB1A1底面ABC， （1）求证：B1CC1A； （2）求二面角C
7、1ABC的大小； （3）求三棱锥B1ABC1的体积.22（本小题满分14分） 已知：如图，矩形ABCD，PA平面ABCD, M、N、R分别是AB、PC、CD的中点， 求证：直线AR平面PMC ；求证：直线MN直线AB ；若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为，能否确定使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线，若能确定，求出的值，若不能确定，说明理由.高三数学同步测试参考答案一、选择题题号123456789101112答案BABBDAAADCCA二、填空题13； 14； 15；16BC1、，CD，A1D1（或CC1，A1D1，DB或BC，C1D1，A1D或DD1，BC，A1C1等）三、解答题17
8、解：文科：每小题6分共12分.理科：每小题4分，共12分.（）取CD中点G（图1），证明AG平面ECD；证明AGBF. ()解法一：取AD中点H，证明CH平面ABED；则VC-BADE=S梯形BADECH=3；解法二：以ACD底面，ED为侧棱，将多面体补成正三棱柱ACDPRE（图2），则多面体的体积等于正三棱柱ACDRRE体积的一半.（）面BCE与平面ACD所成的锐二面角等于 解法一：设是所求的二面角，则cos=.解法二：找两平面交线MC（图2），证明DCE是平面角.18解：作PH于H，MQ是PQ在上的射影，H在MQ上.作HNl于N，并连结PN，由三垂直线定理可知PNl， PNH是二面角l的平
9、面角，即PNH=45.设PQ=x，则NH=PH=xsin，MN=NHcot=xsincot.在RtPMN中，PM2=PN2+MN2，故.19解：设正方形的边长为 经检验： 答：正方形的边长为10cm时，水箱容积最大为1800cm3.20本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.方案一：（）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD.（）解：过点B作BE/CA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所
10、成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足为N，连结BN. 在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC, BNCM，故ANB为所求二面角的平面角.CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，ANMC=，. AB=2，故所求的二面角为方法二：因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D
11、（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）证明：因由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD.（）解：因（）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使为所求二面角的平面角.21（1）证：作B1DAB于D侧面ABB1A1底面ABC又B1D面ABB1A1 B1D底面ABC B1BA=60 故ABB1是正三角形D是AB的中点 连CD，又ABC是正三角形CDAB，又CD是B1C在平面ABC的射影B1CAB 又BB1C1C是菱形， B1CBC1又ABBC1=B，B1C面ABC1 又AC1面ABC，B1CC1A.
12、（2）由（1）知C1AB1C 又ACC1A1是菱形， C1AA1C B1CA1C=C，C1A面A1B1C1 C1AA1B1，又ABA1B1 C1AAB连DE，DEC1A，DEAB 又CDAB，CED是二面角C1ABC的平面角在CDB1，CD=B1D=，CDB1是直角 DE平分CDB1，CDE = 45 （3）由（1）已证B1C面ABC1，B1E是三棱锥B1ABC1的高，且BE= 又DE = B1E = = 22证明：连结CM，ABCD为矩形， CR=RD ， BM=MA ， CMAR， 又AR平面PMC，AR平面PMC连结MR、NR，在矩形ABCD中，ABAD，PA平面AC， PA AB，AB平面PAD，MRAD， NRPD， 面PDA平面NRM ， AB平面NRM，则ABMNPA平面ABCD，AD为PD在平面ABCD上的射影，ADCD由三垂线定理PDCD PDA是二面角PCDA的平面角， ADC=，在RtPDA中，设AD=a ， PD=，MRPD，NRAD；要使MN是异面直线AB，PC的公垂线， MNPC 由MNAB， CDAB，MNCD， MN平面PCD，MNR=90，在RtMNR中，2NR
