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1、数学论文之运算定律的三次教学实践与反思 数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续而已。”归纳猜想是从个别或特殊的事物的判断，扩大为同类一般事物的判断，这种思维过程称为归纳猜想。数学教学中，数学概念的形成和法则、规律的概括就应体现出归纳思想，为此，教师要重视向学生提供充分从事数学活动的机会，引导学生亲身经历数学知识的“再发现”、“再创造”的过程，在艰辛的自主探索中获得丰富感性认识的基础上提出猜想，进而归纳出相应的法则、性质和公式。一、教材分析：小学教材中，运算定律历来这样安排：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。老教材把加法运算定律放在第
2、七册，把乘法运算定律放在第八册；人教版新教材中有关运算定律的知识相对集中。前者仅给出一些数值计算的实例，让学生通过计算发现规律，体现的是从计算中来到计算中去；后者结合学生熟悉的问题情境，让学生在解决问题的过程中发现规律，旨在帮助学生体会运算定律的现实背景，体现的是从生活中来到生活中去。不同的编排体系诠释着数学教学变革的基本理念。笔者曾分别在1998年和2007年执教过该内容。下面就当时的教学设计作简要的横向对比分析。 1998年 2007年 一、口算 27+73= 58+37= 73+27= 37+58= 说说每组两题有什么关系？ 二、新授 出示例1：一家电影院，走道的左边有476个座位，右边
3、有518个座位，一共有多少个座位？ 读题列式解答 板书：476+518=994个 518+476=994个 引导观察：因为得数相同，所以 476+518=518+476 再出示：观察下列题目，在里填上、 三、思考的实践。1、呈现学习材料，引导猜想。哥德巴赫猜想故事引入出示：24、8、60、150操作要求：从中选择2至3个数字。用选择的数编写若干个算式（同一种运算），并计算。附： 学 习 单 我选择的数： 我编写的算式 加法类： 减法类： 乘法类： 除法类： 我的发现： 汇报交流。预测：在加法中，交换加数的位置，和不变。在乘法中，交换因数的位置，积不变。2、个性举例，验证猜测。为了防止学生机械模
4、仿，教师先示范着现场编出两个算式。师：这两个算式是否相等？怎样才能知道？（强调计算）然后郑重其事地在中间划上了等于号。师：请你再写几组这样的算式，并且算一算，看看刚才的猜想是否正确？学生举例、计算，教师有选择、有顺序地组织交流。师：上面的例子有一位数、两位数、三位数，计算起来都不困难。谁能举个难一点的数？（可借助计算器）师：别急！我们不举更大的数了。还有一个非常特殊的数在暗自伤心呢！怎么把它给忘了呢？包含0的算式是否也符合这个规律呢？你能举个例子吗？师：有没有不符合这个规律的例子？你能举出来吗？（以上片段，我们可以感受到学生时时刻刻、真真切切地在经历验证的过程。随着教师组织的逐步深入，学生的思
5、维也随之逐步优化。从理论上讲，再多的例子也只是不完全归纳，但我们仿佛看到广阔的数学王国展现在学生的视野中，从一位数到两位数、三位数，甚至更大的数和特殊的0，都满足这样的规律而且没有人能举出反例，我们有理由相信枚举归纳的结论是正确的。在这个过程中，学生不仅获得了数学结论，更重要的是学会了获得数学结论的思想方法。）3、完善猜测，引导结论。师：你们还有什么疑问？老师心中有个疑问，你们愿意帮我解决吗？既然加法和乘法都有交换律，怎么减法和除法中没有类似的交换律呢？大家能根据举例观察验证归纳的方法解答我的疑惑吗？预测：类似128-128=128-128 128128=128128的数例（规律是普遍存在的，
6、特例除外）呈现：交换两个加数的位置，和不变； 交换两个因数的位置，积不变。读一读，有什么想法，你认为可以怎么修改？预测：交换若干个加数的位置，和不变。交换若干个因数的位置，积不变。你能用自己喜欢的方式来表示两个交换律吗？4、解决问题，巩固新知。师：交换律其实早已是我们的老朋友了。请看：计算并用交换律验算。574+283= 3912=李叔叔上午骑了40千米，下午又骑了56千米，一共骑了多少千米？矿泉水每瓶2元，四（5）55人，每人买一瓶共需多少钱？交换律专项训练（略）5、课堂总结，方法提炼。今天这节课，我们学习了交换律。回忆一下，我们是怎样学的？体会与启示：1丰富的数学活动素材为多方验证提供物质
7、基础。验证结论是否可靠，在一定程度上取决于所枚举事例的数量和范围。所以，在运用枚举法进行教学时，教师要十分重视对学习材料的选择和设计，尽量增加枚举的数量，防止千人一面；同时要十分重视对学习活动的优化和组织，尽量扩展考察的范围，防止以偏概全。在生动活泼、精彩纷呈的数学活动材料的刺激下，学生的个性才能得到张扬，潜能才能得到挖掘。只有这样，才能作出有价值的猜想和多方法、多方位的验证，从而尽可能地增加结论的可信度。2丰厚的数学活动经验为多方验证积淀思想方法。如果枚举时只注重“量”而忽略了“质”，只注重了广泛的“发散”而忽略了典型的“提炼”，那么学生的思维水平就永远无法提升。教师适当的引导和点拨，犹如醍醐灌顶般促进学生的思维从合情推理水平向逻辑推理水平过渡，帮助学生积累从感性认识跃向理性认识的经验。在这样的数学活动过程中，学生获取的不仅仅是数学基本知识和基本技能，更重要的是数学基本思想和基本活动经验，尤其是，难能可贵的探究的品质将在学生的心灵生根、萌芽。
