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1、绝密启用前2006年高考文科数学试卷（湖南卷）本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分.参考公式:如果事件、互斥，那么如果事件、相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是 球的体积公式 ,球的表面积公式，其中表示球的半径一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1函数的定义域是 A(0,1B. (0,+)C. (1,+)D. 1,+)2已知向量若时，；时，则 A B. C. D. 3. 若的展开式
2、中的系数是80，则实数a的值是 A-2 B. C. D. 24过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60则该截面的面积是 A B. 2 C.3 D. 5“a=1”是“函数在区间1，）上为增函数”的 A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6在数字1,2，3与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A6 B. 12 C. 18 D. 247圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是A36 B. 18 C. D. 8设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期
3、是A2 B. C. D. 9过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是A B. C. D. ABOM图110. 如图1：OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是AB. C. D. 二填空题：本大题共5小题，每小题分，共20分，把答案填在答题上部对应题号的横上.11. 若数列满足：，2，3.则.12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模
4、兴趣班的平均成绩是分.13. 已知则的最小值是.14. 过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.15. 若是偶函数，则a= .三解答题：本大题共小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分分）已知求的值.17.（本小题满分分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：()恰好有两家煤矿必须整改
5、的概率；()某煤矿不被关闭的概率；()至少关闭一家煤矿的概率.QBCPAD图218.（本小题满分4分）如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4. ()证明PQ平面ABCD； ()求异面直线AQ与PB所成的角； ()求点P到平面QAD的距离.19.（本小题满分14分）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.20.（本小题满分14分）在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的
6、逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,.21.（本小题满分14分）已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.（）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.2006年高考文科数学参考答案（湖南卷）110：DCDAABCBCDC11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .16. 解由已知条件得.即.解得.由0知，从而.17. 解（）每家煤矿必须整改的概率是10.
7、5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.（）解法一某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.解法二某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.所以该煤矿不被关闭的概率是.()由题设（）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.18. 解法一（）连结AC、BD，设.由PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直
8、线上，所以PQ平面ABCD.（）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD. QBCPADzyxO由（），QO平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，2），B（0，0）.所以于是.从而异面直线AQ与PB所成的角是.()由（），点D的坐标是（0，0），设是平面QAD的一个法向量，由得.取x=1，得.所以点P到平面QAD的距离.解法二（）取AD的中点，连结PM，QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM. 从而AD平面PQM.又平面PQM，所以PQ
9、AD.同理PQAB，所以PQ平面ABCD.QBCPADOM（）连结AC、BD设，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.因为OAOC，OPOQ，所以PAQC为平行四边形，AQPC.从而BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.因为，所以.从而异面直线AQ与PB所成的角是.()连结OM，则.所以PMQ90，即PMMQ.由（）知ADPM，所以PM平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.在直角PMO中，.即点P到平面QAD的距离是.19. 解（）由题设知.令.当（i）a0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所
10、以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.20. 解（）由已知得，. （）因为，所以. 又因为，所以 =. 综上，.21. 解（）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m0，直线AB的方程为 x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，）. 因为点A在抛物线上，所以，即. 此时C
11、2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上. （）解法一当C2的焦点在AB时，由（）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去y得. 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,则x1,x2是方程的两根，x1x2.AyBOx因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以，且.从而.所以，即.解得.因为C2的焦点在直线上，所以.即.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为.解法二当C2的焦点在AB时，由（）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去y得. 因为C2的焦点在直线上，所以，即.代入有.即. 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,则x1,x2是方程的两根，x1x2.由消去y得. 由于x1,x2也是方程的两根，所以x1x2.从而. 解得.因为C2的焦点在直线上，所以.即.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为. 解法三设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，所以.即. 由（）知，于是直线AB的斜率， 且直线AB的方程是,所以. 又因为，所以. 将、代入得，即.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为.
