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1、第五第五章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 第五章第五章 数理统计初步习题参考答案与提示 数理统计初步习题参考答案与提示 1 在总体中随机抽取一长度为 36 的样本 求样本均值 3 6 52 2 NXX 落 50 8 到 53 8 之间的概率 答案与提示答案与提示 由于 2 nNX 所以 50 853 8 0 8293PX 3 设为来自总体 n XXX 21 L PX的一个样本 X 分别为样本均值 和样本方差 求 2 S XD及 2 ES 答案与提示答案与提示 此题旨在考察样本均值的期望 方差以及样本方差的期望与总体 期望 总体方差的关系 显然应由定理 5 1 来解决这一问题 2 DX
2、 DXES nn 4 设是 来 自 正 态 总 体的 随 机 样 本 试确定 b使统计量 4321 XXXX 30 2 N 2 43 2 21 32 2 XXbXXaX aX服从分布 并指出其自 由度 2 答案与提示答案与提示 依题意 要使统计量X服从分布 则必需使及 服从标准正态分布 解得 2 2 21 2 1 XXa 32 43 2 1 XXb a 1 45 b 1 117 5 设 X 和Y 独立同分布和分别是来自N 032 921 XXX L 921 YYY LX 和Y 的简单抽样 试确定统计量U XX YY 1 1 2 9 2 L L 9 所服从的分布 答案与提示答案与提示 应用t分布
3、的定义 得 U XX YY 19 1 2 9 2 L L t 9 6 设随机变量 Xt n 1n 试确定统计量 2 1 Y X 所服从的分布 答案与提示 答案与提示 先由t分布的定义知 n V U X 再利用F分布的定义即可 1 第五第五章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 1 1 2 nF X Y 7 设总体X服从正态分布 而是来自总体 2 0 2 N 1521 XXXLX的简单随 机样本 试确定随机变量 2 2 15 2 11 2 10 2 1 XX XX Y L L 所服从的分布 答案与提示答案与提示 由于 10 10 4 4 22 10 2 1 XX L 5 5 4 4 22 1
4、5 2 11 XX L 故 5 10 2 2 15 2 11 2 10 2 1 F XX XX Y L L 8 设为来自正态总体的一个样本 n XXX 21 L 2 NX 已知 求 的极大似然估计 2 答案与提示答案与提示 设为样本的一组观察值 则似然函数 为 n xxx 21 LXXXn 12 L n i xi eL 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 n x e i i n 得的极大似然估计为 2 n i i x n 1 22 1 9 设 1 NX 为来自正态总体 n XXX 21 LX的一个样本 试求 的极 大似然估计及矩估计 答案与提示答案与提示 矩估计法和
5、极大似然估计法是点估计的两种常用方法 所谓矩估 计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计 因此需要首先计算 或已知 总体的某 几 种矩 由于本题只涉及一个未知参数 故只要知道总体的某一种矩 即可 极大似然估计可依据四个步骤来完成 其关键是正确构造似然函数 的极大似然估计为 1 1 n i i X n 的矩估计为 1 1 n i i X n 10 设为来自正态总体的一个样本 求下述各总体的密度函数中 的未知参数的矩估计及极大似然估计 n XXX 21 L 1 为未知参数 2 第五第五章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 2 0 0 22 2 2 其它 xe x xf x 其中 0 为未
6、知参数 答案与提示答案与提示 矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法 所谓矩估 计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计 因此需要首先计算 或已知 总体的某 几 种矩 由于本例只涉及一个未知参数 故只要知道总体的某一种矩 即可 极大似然估计可依据内容提要中的四个步骤来完成 其关键是正确构造似然 函数 1 矩估计 21 1 X X 极大似然估计 ln 1 1 n Xi i n 2 矩估计 2 X 极大似然估计 n i i x n 1 2 2 1 11 设为总体 n XXX L 21 X 的一个样本 且X服从几何分布 即 L 3 2 1 1 1 kppkXP k 求的极大似然估计量 p
7、 答案与提示答案与提示 极大似然估计为 p X 1 12 设为总体XXXn 12 LX 的一个样本 且X服从参数为的二项分 布 求 pm p的极大似然估计量 答案与提示答案与提示 的极大似然估计量为 p p mX 13 设为来自总体 n XXX L 21 X的一个样本 且EX 存在 问统计量 1 2 是否为 的无偏估计 1 521 524XXX 2 121 1 234 10 nn XXXX 答案与提示答案与提示 依据无偏估计定义 521 524XXX 不是 的无偏估计 121 1 234 10 nn XXXX 是 的无偏估计 14 设总体X服从 为来自总体X的一个样本 试问统 2 N 321
8、XXX 3 第五第五章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 计量 1 2 3 是否为 的无偏估计 并从无偏估计中找出较好的一个 1 12 111 424 3 XXX 2 12 211 3412 3 XXX 3 12 131 5102 3 XXX 答案与提示答案与提示 依据无偏估计定义 统计量 1 2 3 均为 的无偏估计 由有效估计定义可判断 12 111 424 3 XXX 较好 15 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 x xe xf x 0 2 2 其中0 为未知参数 又设是 n xxx L 21 X 的一组样本观察值 求 的极大似然 估计值 答案与提示答案与提示 构造似然函数
9、2 1 2 i x n i eL n i i x ne 1 2 2 ln n i i xnL 1 22ln n d Ld 2 ln 与参数 无关 由条件 当 x时 2 2 x exf 0 所以当 min 21n xxxL 时 似 然函数取得最大值 从而知 L min 21n xxxL 16 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 1 2 2 21 其中 2 1 0 不合题意 所以 的极大似然估计值为 12 137 4 第五第五章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 17 随机地从一批钉子中抽取 16 枚 测得其长度 单位 cm 为 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13
10、 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 设钉长服从正态分布 试就以下两种情况求总体均值 的置信度为 90 的置信区间 1 若已知01 0 2 若 未知 答案与提示答案与提示 1 的置信度为 0 90 的置信区间是 2 1212 129 2 的置信度为 0 90 的置信区间是 1325 21175 2 18 为了估计灯泡使用时数的均值 及标准差 测试 10 只灯泡 得1500 x小 时 如果已知灯泡使用时数服从正态分布 求总体均值20 S 标准差 的置 信区间 置信度为 0 95 答案与提示答案与提示 1 的置信度为 0 9
11、0 的置信区间是 32 1514 67 1485 2 的置信度为 0 95 的置信区间是 189 47 1333 33 2 的置信度为 0 95 的置信区间是 13 76 36 51 19 随机的取某种炮弹 9 枚做试验 得炮口速度的样本标准差 米 秒 设炮口速度服从正态分布 求这种炮弹炮口速度的标准差 11 S 的 95 的置信区间 答案与提示答案与提示 的置信度 95 的置信区间为 7 43 21 10 20 随机的从A批导线中抽取 4 根 从B批导线中抽取 5 根 测得电阻 为 A批导线 0 143 0 142 0 143 0 137 B批导线 0 140 0 142 0 136 0 1
12、38 0 140 设测定数据分别来自正态总体 且两样本相互独立 又 2 1 N 2 2 N 1 2 均为未知 试求 2 21 的置信度为 95 的置信区间 答案与提示答案与提示 BA 的 0 95 的置信区间为 0 002 0 006 21 设两位化验员A B独立地对某种聚合物含氯量用同样的方法各作 10 次测 定 其测定的样本方差依次为 设 分别为5419 0 2 A S6065 0 2 B S 2 A 2 B A B 所测定的测定值总体的方差 两总体均服从正态分布 试求方差比 的置信度 为 95 的置信区间 2 A 2 B 答案与提示答案与提示 方差比 2 2 2 1 的置信度为 0 90
13、 的置信区间是 0 222 3 601 22 由经验知某零件重量 技术革新后 抽了六个样品 测得 重量为 单位 g 14 7 15 1 14 8 15 0 15 2 14 6 已知方差不变 问平均 重量是否仍为 15 05 0 15 NX 05 0 答案与提示答案与提示 依题意需检验假设15 0 H 经计算知应接受 即认为平均 重量仍是 15 0 H 5 第五第五章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 23 原铸造成品率的平均值为 83 8 今换用便宜的原料 成品率抽样数据 如下 83 9 84 6 82 4 84 1 84 9 82 9 85 2 83 3 82 0 83 5 问原料代用
14、后 成品率是否发生了变化 0 05 答案与提示答案与提示 依题意 可认为成品率这样的计量值数据服从正态分布 因此该 问题即为方差未知的情况下 检验成品率的平均值是否仍为 83 8 检验结果 原料代用后 成品率无显著变化 24 设某产品的生产工艺发生了改变 在改变前后分别独立测了若干件产品的 某项指标 其结果如下 改变前 21 6 20 8 22 1 21 2 20 5 21 9 21 4 改变后 24 1 23 8 24 7 24 0 23 7 24 3 24 5 23 9 且假定产品的该项指标服从正态分布 求工艺改变前后该产品的此项指标稳定状况 有无明显改变 0 05 答案与提示答案与提示
15、依题意 设工艺改变后的总体为X 工艺改变前的 总体为Y 从而问题化为检验假设 2 11 N 2 22 N 2 102 H 2 2 检验结果 认为工艺改变前后该产品的此项指标稳定状况无明显改变 25 机床厂某日从两台机器生产的同一零件中 分别抽取若干个样品测量的长 度如下 第一台机器 6 2 5 7 6 5 6 0 6 3 5 8 5 7 6 0 6 0 5 8 6 0 第一台机器 5 6 5 9 5 6 5 7 6 0 5 8 5 7 5 5 5 5 问这两台机器的加工精度有无显著差异 0 05 答案与提示答案与提示 依题意 可认为样品测量这样的计量值数据服从正态分布 因此 比较两台机器的加工
16、精度有无显著差异 即为检验假设 2 012 H 2 成立与否 检验结果 认为两台机器的加工精度无显著差异 26 测得两批电子元件的样本的电阻 为 第一批 0 140 0 138 0 143 0 142 0 144 0 137 第二批 0 135 0 140 0 142 0 136 0 138 0 140 设两批电子元件的电阻分别服从正态总体 且两样本相互 独立 问这两批电子元件的电阻有无显著差异 2 1 N 2 2 N 0 05 答案与提示答案与提示 显然该问题为在方差相等但未知的情况下 对两个正态总体均值 是否相等的假设检验既要检验假设 012112 HH 检验结果 认为两批电子元件电阻均值相等 无显著差异 27 假设 0 50 1 25 0 80 2 00 是来自总体 X 的简单随机样本值 已知 服从正态分布 xYln 1 N 1 求 X 的数学期望EX 记EX为 2 求b 的置信度 6 第五第五章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 为 0 95 的置信区间 3 利用上述结果求b的置信度为 0 95 的置信区间 答案与提示答案与提示 1 1 2 EXe 2 由 X 0 50
