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1、2007届三月数学模拟试题一2007-2-22一选择（50）1现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）A、10平方分米 B、20平方分米 C、40平方分米 D平方分米2拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.5m+1）（元）决定，其中m0,m是大于或等于m的最小整数，（如3=3，3.8=4，3.1=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 （ ）A 3.71元B3.97元C4.24元D 4.77元3.如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，8
2、79等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数是 A.240B.285C.729D.9204.f(0)=0是f(x)为奇函数的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.函数f(x)=log|x|，g(x)=x2+2，则f(x)g(x)的图象只可能是6.若f(x)是奇函数，且在(0，+)上是增函数，又f(3)=0，则xf(x)0的解集是A.x|3x0或x3B.x|x3或0x3 C.x|x3或x3D.x|3x0或0x37.由0，1，2，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为 A.180 B.196 C.210 D.
3、2248.将点P(1，2)按向量a=(3，4)平移到点P(-t2+t+6，t2+t)，则实数t的值为 A.2或-1 B.-3或2 C.-1或3 D.29.设椭圆，双曲线，抛物线y2=2(m+n)x(其中mn0)的离心率分别为e1、e2、e3，则 A.e1e2e3 B.e1e2e3 C.e1e2=e3 D.e1e2与e3大小不确定10.已知函数f(x)=的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=k2上，则f(x)的最小正周期是 A.1 B.2 C.3 D.4二填空题（16）11已知两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_条件，如果A是B的充 分必要条件，那么的_条件。12
4、关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数a的值是 .13一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为52米和24米，现欲将这块土地内部分割成一些全等的正方形试验田，要求这块土地全部被划分且分割的正方形的边与这块土地的边界平行，现另有2002米栅栏，则最多可将这块土地分割成 块。14.已知两点M(5，0)，N(5，0)，给出下列直线方程:5x3y=0；5x3y+30=0； xy=0；4xy+5=0在直线上存在点P满足|MP|NP|6的所有直线方程的序号是_15（本题满分14分） 对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称为的“滞点”已知函数f ( x ) = （I）试问有无“滞点”？若有求之，否则说明理由
5、；（II）已知数列的各项均为负数，且满足,求数列的通项公式;（III）已知,求的前项和16.(本小题满分14分)已知点B1(1，y1)，B2(2，y2)，Bn(n，yn)，(nN*)顺次为直线y=x+上的点，点A1(x1，0)，A2(x2，0)，An(xn，0)，顺次为x轴上的点，其中x1=a(0a1).对于任意nN*，点An，Bn，An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形(1)求数列yn的通项公式，并证明它为等差数列；(2)求证：xn+2xn是常数，并求数列xn的通项公式；(3)上述等腰AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能，请说明理由17（本题满分14分）
6、定义：离心率 的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆：的一个焦点为，为椭圆上的任意一点(I) 试证：若不是等比数列，则一定不是“黄金椭圆”；(II) 设E为黄金椭圆，问：是否存在过点FP的直线L，使L与y轴的交点R满足？若存在，求直线L的斜率k；若不存在，说明理由(III) 已知椭圆E的短轴长是2，点S (0, 2 )，求使取最大值时点P的坐标18.(本小题满分14分)设函数f(x)=x2+2bx+c(cb1)，f(1)=0，且方程f(x)+1=0有实根(1)证明：3c1，且b0； (2)若m 是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m4)的正负，并加以证明19（本小题满分14分）已知A、B是椭圆的一
7、条弦，M（2，1）是AB中点，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N（4，-1）。（）设双曲线的离率心为e，试将e表示为椭圆的半长轴长的函数。（）当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程。（）求出椭圆的长轴长的取范围。20.(本小题满分14分) 已知椭圆C：(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，与y轴交于M点，且点B分的比为2. (1)若|k|，求离心率e的取值范围； (2)若|k|=，并且弦AB的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程.参考答案及详细解析1 C如图可设A的坐标为，则有（平方分米） 2C由f（m）
8、=1.06（0.5m+1）（元）得：f（5.5）=1.06（0.55.5+1）=1.06（0.56+1）=4.24（元）3.解析：分别将0，1，2，38放在十位上，则凹数个数为AA+AA+AA+AA=92+82+72+12=9(9+1)(29+1)285.答案：B4.D 5. B. 可知在x=1时有最小值3，从而函数在x=1时有最小值3，所以p2，q4，即。那么在上的最大值是。6.解析：f(x)是奇函数，f(x)在(，0)上是增函数，且f(3)=0.可画出f(x)简图为下图，而xf(x)0易得D.答案：D7.C .8.D 由平移公式知 解得t=2. 9.B =1，.10.D 由题知，当即x=时
9、，y=， 即(，)在圆x2+y2=k2上.11必要条件,充要条件.12如图所示，要使关于x的方程有三个不相等的实数根，则与的图像必有三个不同的交点，所以的图像经过(1,0)或者的图像与的图像在1,3上相切。从而可得实数. 13设长分割成x列，宽分割成y行，共分割成z块，则z=xy当x=39，y=18时， 14.15（本小题满分14分）解：（I）令 解得 即f(x)存在两个滞点0和2 （II）由题得，故由-得，即是等差数列，且 当n=1时，由 (III)由-得 16.(1)证明：yn=n+，yn+1yn=，所以数列yn是等差数列4分(2)解：由题意知，=n，所以数列xn+xn+1=2n.xn+1
10、+xn+2=2(n+1).、相减，得xn+2xn=2.x1，x3，x5，x2n1，成等差数列；x2，x4，x6，x2n，成等差数列，xn=8分(3)解：当n是奇数，An(n+a1，0)，An+1(n+1a，0)，所以|AnAn+1|=2(1a);当n是偶数时，An(na，0)，An+1(n+a，0)，所以|AnAn+1|=2a;作BnCnx轴于Cn，则|BnCn|=n+要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必需且只需|AnAn+1|=2|BnCn|所以，当n为奇数时，有2(1a)=2(n+)，即12a=113n.(*)当n=1时，a；当n=3时，a；当n5时，方程(*)无解当n是偶数时，
11、12a3n1，同理可求得a=综上，当a=或a=或a=时，存在直角三角形 14分17 （本小题满分14分）(I)证明：假设E为黄金椭圆，则即与已知矛盾，故椭圆一定不是“黄金椭圆” (II)解：依题假设直线L的方程为 令 点P在椭圆上,故，与矛盾所以，满足题意的直线不存在 （III）依题有，由点P在E上知 （）故时取得最大值，此时点P的坐标是（0，-1）（）当时时取得最大值，此时点P的坐标是 18.(1)证明：f(1)=01+2b+c=0b=.又cb1，故c13c.4分方程f(x)+1=0有实根，即x2+2bx+c+1=0有实根，故=4b24(c+1)0(c+1)24(c+1)0c3或c1又cb1
12、，得3c1，由b=知b08分(2)解： f(x)=x2+2bx+c=x2(c+1)x+c=(xc)(x1)，f(m)=10.cm1，c4m43c.f(m4)=(m4c)(m41)0，f(m4)的符号为正 14分19解（）设两式相减，得3分6分则由双曲线定义及题设知 （），而此时点M（2，1）在椭圆外，不可能是椭圆弦AB的中点，舍去。故所求椭圆方程为10分（）由题设知 联立 得 由（2）知 当 当 故14分20.解：(1)直线l的方程为y=k(x-c)，则M(0，-ck)， 点B分的比=2， . . k224，4e4-37+90. 解之1，也即e1. 6分 (2)k=2，e=.a=2c，b=c. 椭圆方程为. 8分 将直线y=2(x-c)代入椭圆方程得33x2-64cx+28c2=0. 10分 由韦达定理得x1+x2=，又右准线为x=4c, 弦AB中点到右
