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1、3.2导数的应用考点一导数与函数的单调性1.(2013浙江,8,5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f (x)的图象如图所示,则该函数的图象是()答案B2.(2013天津,20,14分)设a-2,0,已知函数f(x)=(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点Pi(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x30.证明x1+x2+x3-.证明(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-x2+ax(x0), f 1(x)=3x2-(a+5),由a-2,0,从
2、而当-1x0时,f 1(x)=3x2-(a+5)3-a-50,所以函数f1(x)在区间(-1,0内单调递减. f 2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a-2,0,所以当0x1时, f 2(x)1时, f 2(x)0.即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合,及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.(2)由(1)知f (x)在区间(-,0)内单调递减,在区间内单调递减,在区间内单调递增.因为曲线y=f(x)在点Pi(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x
3、1,x2,x3互不相等,且f (x1)=f (x2)=f (x3).不妨设x10x2x3,由3-(a+5)=3-(a+3)x2+a=3-(a+3)x3+a,可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0,解得x2+x3=,从而0x2x3. 设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则gg(x2)g(0)=a.由3-(a+5)=g(x2)a,解得-x1-+,设t=,则a=,因为a-2,0,所以t,故x1+x2+x3-t+=(t-1)2-,即x1+x2+x3-.3.(2013湖北,21,13分)设a0,b0,已知函数f(x)=.(1)当ab时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x0时,称f(x)为a、b关于
4、x的加权平均数.(i)判断f(1),f , f 是否成等比数列,并证明ff;(ii)a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数,记为H.若Hf(x)G,求x的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+),f (x)=.当ab时,f (x)0,函数f(x)在(-,-1),(-1,+)上单调递增;当ab时,f (x)0,f=0,f=0,故f(1)f=ab=,即f(1)f=.所以f(1),f,f成等比数列.因为,所以f(1)f.由得ff.(ii)由(i)知f=H,f=G.故由Hf(x)G,得ff(x)f.当a=b时,f=f(x)=f=a.这时,x的取值范围为(0,+);当ab
5、时,01,从而,由f(x)在(0,+)上单调递增与式,得x,即x的取值范围为;当a1,从而,由f(x)在(0,+)上单调递减与式,得x,即x的取值范围为.考点二导数与函数的极值与最值4.(2013福建,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.xR, f(x)f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案D5.(2013课标全国,20,12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b
6、的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解析(1)f (x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4, f (0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f (x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).令f (x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x(-,-2)(-ln 2,+)时, f (x)0;当x(-2,-ln 2)时, f (x)1,求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.解析(1)当a=1时, f (x)=6x2-12x+6,所以f (2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程
7、为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f (x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f (x)=0,得到x1=1,x2=a.当a1时,x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af (x)+0-0+f(x)0单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当a0, f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f (x)=0,得ex=a,x=ln a.x(-,ln a), f (x)0,所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln
8、a,+)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时, f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.(3)解法一:当a=1时, f(x)=x-1+.令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+,则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.假设k1,此时g(0)=10,g=-1+0,知方程g(x)=0在R上没有实数解.所以k的最大值为1.解法二:当a=1时, f(x)=x-1+.直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于关于
9、x的方程kx-1=x-1+在R上没有实数解,即关于x的方程(k-1)x=(*)在R上没有实数解,当k=1时,方程(*)可化为=0,在R上没有实数解.当k1时,方程(*)可化为=xex.令g(x)=xex,则有g(x)=(1+x)ex.令g(x)=0,得x=-1,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,+)g(x)-0+g(x)-当x=-1时,g(x)min=-,同时当x趋于+时,g(x)趋于+,从而g(x)的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围为(1-e,1).综合,得k的最大值为1.9.(2013辽宁,21,12分)(1)证明:当x0,
10、1时,xsinxx;(2)若不等式ax+x2+2(x+2)cos x4对x0,1恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)证明:记F(x)=sin x-x,则F(x)=cos x-.当x时,F(x)0,F(x)在上是增函数;当x时,F(x)0,所以当x0,1时,F(x)0,即sin xx.(3分)记H(x)=sin x-x,则当x(0,1)时,H(x)=cos x-1-2时,不等式ax+x2+2(x+2)cos x4对x0,1不恒成立.因为当x0,1时,ax+x2+2(x+2)cos x-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2(a+2)x+x2+-4(x+2)=(a+2)x-x2-(a+2)x-x2=-x.所以存在x0(0,1)例如x0取和中的较小值满足ax0+2(x0+2)cos x0-40,即当a-2时,不等式ax+x2+2(x+2)cos x-40对x0,1不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-,-2.(12分)解法二:记f(x)=ax+x2+2(x+2)cos x-4,则f (x)=a+2x+2cos x-2(x+2)sin x.记G(x)=f (x),则G(x)=2+3x-4sin
