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1、第二章单元质量检测第二章单元质量检测 时间 120 分钟分值 150 分 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 函数 y x 1 0 2x 1的定义域为 A 1 2 B 1 2 1 1 C 1 2 D 1 2 1 1 解析 由 x 1 0 2x 1 0 得 x 1 2 答案 A 2 曲线 y x3 2x 4 在点 1 3 处的切线的倾斜角为 A 30 B 45 C 60 D 120 解析 由 y 3x2 2 得 y x 1 1 即曲线在点 1 3 处的切线斜 率为 1 所以切线的倾斜角为 45 答案 B 3 若已知函数 f x log2x x 0 9 x 1 x 0 则 f f 1 f
2、 log31 2 的值是 A 7B 2 C 5D 3 解析 答案 A 4 已知函数 f x ex e x 1 e 是自然对数的底数 若 f a 2 则 f a 的值为 A 3B 2 C 1D 0 解析 依题意得 f a f a 2 2 f a 2 f a 0 选 D 答案 D 5 已知 c log2 11 5 则 a b c 的大 小关系是 A c a bB c b a C a b cD b a c 解析 由 log2 11 5 1 得 c a0 即 f x 在 R 上单调递增 因此函数 f x 只有一个零点 故选 A 答案 A 7 已知函数 f x x 4 9 x 1 x 0 4 当 x a
3、 时 f x 取得最 小值 b 则函数 g x 1 a x b 的图象为 解析 由基本不等式得 f x x 1 9 x 1 5 2 x 1 9 x 1 5 1 当且仅当 x 1 9 x 1 即 x 2 时取得最小值 1 故 a 2 b 1 因此 g x 1 a x b 1 2 x 1 只需将 y 1 2 x 的图象向左平移 1 个单位即可 其中 y 1 2 x 的图象可利用其为偶函数通过 y 1 2 x作出 故选 B 答案 B 8 定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 A f 2 f 5 f 8 B f 5 f 8 f 2 C f 5 f
4、2 f 8 D f 8 f 2 f 5 解析 因为 f x 4 f x 所以 f x 8 f x 所以函数 f x 是周期函数 且周期为 8 所以 f 8 f 0 f 5 f 1 f 1 因为奇函数 f x 在区间 0 2 上是增函数 所以函数 f x 在区间 2 2 上是增函数 又 2 1 0 2 所以 f 5 f 8 0 时 f x 的单调递减区间是 3m m 若 f x 在区间 2 3 上是减函数 则 3m 2 m 3 解得 m 3 当 m0 b 0 且函数 f x 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1 处有极 值 则 ab 的最大值等于 A 2B 3 C 6D 9 解析 f x 12
5、x2 2ax 2b 4a2 96b 0 又 x 1 是极值点 f 1 12 2a 2b 0 即 a b 6 且 a 0 b 0 ab a b 2 4 9 当且仅当 a b 时 成立 所以 ab 的最大 值为 9 答案 D 11 已知 f x 的定义域为 0 f x 为 f x 的导函数 且满 足 f x x 1 f x2 1 的解集是 A 0 1 B 1 C 1 2 D 2 解析 令 F x xf x 由 f x xf x 得 f x xf x 0 即 F x x 1 f x2 1 x 1 0 得 x 1 f x 1 x2 1 f x2 1 F x 1 F x2 1 x 10 解得 x 2 故
6、选 D 答案 D 12 2014 湖南卷 若 0 x1 x2g x2 x2ex1 x1ex2 故选 C 答案 C 二 填空题 每小题 5 分 共 20 分 13 设 f x x2 x0 有实根 所以 a 1 2x20 时 方程 f x 0 有且只有一个实数根 方程 f x 0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为 解析 若 q 0 则 f x x x px x x p 为奇函数 所以 正 确 由 知 当 q 0 时 f x 为奇函数 图象关于原点对称 f x x x px q 的图象由函数 f x x x px 向上或向下平移 q 个单位 所以 图象关于 0 q 对称 所以 正确 当 p 0
7、 q 0 时 f x x x q x2 q x 0 x2 q x 0 当 f x 0 得 x q 只有一解 所以 正确 取 q 0 p 1 f x x x x x2 x x 0 x2 x x0 且 a 1 1 求 f x 的定义域 2 判断 f x 的奇偶性并予以证明 3 当 a 1 时 求使 f x 0 的 x 的解集 解 1 要使函数 f x 有意义 则 x 1 0 1 x 0 解得 1 x 1 故所求函数 f x 的定义域为 x 1 x 1 2 由 1 知 f x 的定义域为 x 1 x1 时 f x 在定义域 x 1 x0 x 1 1 x 1 解得 0 x 1 因此不等式的解集为 x
8、0 x 1 18 12 分 设函数 f x log3 9x log3 3x 1 9 x 9 1 若 m log3x 求 m 的取值范围 2 求 f x 的最值 并给出最值时对应的 x 的值 解 1 因为1 9 x 9 m log 3x 为增函数 所以 2 log3x 2 即 m 的取值范围是 2 2 2 由 m log3x 得 f x log3 9x log3 3x 2 log3x 1 log3x 2 m 1 m m 3 2 2 1 4 又 2 m 2 所以当 m log3x 3 2 即 x 3 9 时 f x 取得最小值 1 4 19 12 分 已知函数 f x a 1 x 1 求证 函数
9、y f x 在 0 上是增函数 2 若 f x 2x 在 1 上恒成立 求实数 a 的取值范围 解 1 证明 当 x 0 时 f x a 1 x 设 0 x10 x2 x1 0 f x2 f x1 a 1 x2 a 1 x1 1 x1 1 x2 x2 x1 x1x2 0 所以 f x 在 0 上是增函数 2 由题意 a 1 x 2x 在 1 上恒成立 设 h x 2x 1 x 则 a h x 在 1 上恒成立 任取 x1 x2 1 且 x1 x2 h x1 h x2 x1 x2 2 1 x1x2 因为 1 x1 x2 所以 x1 x21 所以 2 1 x1x2 0 所以 h x 1 h x2
10、所以 h x 在 1 上单调递增 故 a h 1 即 a 3 所以 a 的取值范围是 3 20 12 分 已知函数 f x x3 x 16 1 求曲线 y f x 在点 2 6 处的切线的方程 2 如果曲线 y f x 的某一切线与直线 y 1 4x 3 垂直 求切点 坐标与切线的方程 解 1 可判定点 2 6 在曲线 y f x 上 因为 f x x3 x 16 3x2 1 所以曲线在点 2 6 处的切线的斜率为 f 2 13 所以切线的方程为 y 6 13 x 2 即 13x y 32 0 2 因为切线与直线 y x 4 3 垂直 所以切线的斜率为 4 设切点的坐标为 x0 y0 则 f
11、x0 3x 20 1 4 所以 x0 1 所以 x0 1 y0 14 或 x0 1 y0 18 即切点坐标为 1 14 或 1 18 所以切线方程为 y 14 4 x 1 或 y 18 4 x 1 即 4x y 18 0 或 4x y 14 0 21 12 分 2014 新课标全国卷 已知函数 f x x3 3x2 ax 2 曲线 y f x 在点 0 2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 2 1 求 a 2 证明 当 k0 当 x 0 时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10 时 令 h x x3 3x2 4 则 g x h x 1 k x h x h x 3
12、x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单 调递增 所以 g x h x h 2 0 所以 g x 0 在 0 没有实根 综上 g x 0 在 R 上有唯一实根 即曲线 y f x 与直线 y kx 2 只有一个交点 22 12 分 已知函数 f x ax xlnx 且图象在点 1 e f 1 e 处的切线斜率为 1 e 为自然对数的底数 1 求实数 a 的值 2 设 g x f x x x 1 求 g x 的单调区间 3 当 m n 1 m n Z 时 证明 m n n m n m 解 1 f x ax xlnx f x a 1 lnx 依题意 f 1 e a 1 所
13、以 a 1 2 因为 g x f x x x 1 xlnx x 1 所以 g x x 1 lnx x 1 2 设 x x 1 lnx 则 x 1 1 x 当 x 1 时 x 1 1 x 0 x 是增函数 对任意 x 1 x 1 0 即当 x 1 时 g x 0 故 g x 在 1 上为增函数 当 0 x 1 时 x 1 1 x 1 0 即当 0 x0 故 g x 在 0 1 上为增函数 所以 g x 的递增区间为 0 1 1 3 证明 要证 m n n m n m 即证 lnn m lnm n lnn lnm 即 n 1 n lnm m 1 m lnn mlnm m 1 nlnn n 1 因为 m n 1 由 2 知 g m g n 故 式成立 所以 m n n m n m
