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1、第三章单元质量检测第三章单元质量检测 时间 90 分钟分值 100 分 一 选择题 每小题 4 分 共 40 分 1 cos 17 4 sin 17 4的值为 A 2B 2 C 0D 2 2 解析 原式 cos17 4 sin17 4 cos 4 4 sin 4 4 2 2 2 2 2 答案 A 2 已知点 P sin3 4 cos3 4 落在角 的终边上 且 0 2 则 的值为 A 4 B 3 4 C 5 4 D 7 4 解析 由 sin3 4 0 cos3 4 0 知角 在第四象限 因为 tan cos3 4 sin3 4 1 0 2 所以 7 4 答案 D 3 化简 sin235 1 2
2、 cos10 cos80 A 2B 1 2 C 1D 1 解析 sin235 1 2 cos10 cos80 1 cos70 2 1 2 cos10 sin10 1 2cos70 1 2sin20 1 答案 C 4 已知角 A 为 ABC 的内角 且 sin2A 3 4 则 sinA cosA A 7 2 B 7 2 C 1 2 D 1 2 解析 A 为 ABC 的内角 且 sin2A 2sinAcosA 3 40 cosA0 又 sinA cosA 2 1 2sinAcosA 7 4 sinA cosA 7 2 答案 A 5 如图所示为函数 f x 2sin x 0 0 2 的部分图 象 其
3、中 A B 两点之间的距离为 5 那么 f 1 A 1B 3 C 3D 1 解析 由 A B 两点之间的距离为 5 知函数的半周期为 3 因此 T 6 2 T 3 又函数过点 0 1 所以 sin 1 2 因为 0 2 所 以 6 所以函数解析式为 f x 2sin 3x 6 故 f 1 2sin 3 6 2sin 6 1 答案 A 6 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asinBcosC csinBcosA 1 2b 且 a b 则 B A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 解析 由正弦定理知 a sinA b sinB c sinC 2R 所以 2RsinAsi
4、nBcosC 2RsinCsinBcosA 1 22RsinB 因为 a b 所以 B A 所以 0 B 2 sinB 0 所以 sinAcosC sinCcosA 1 2 即 sin A C 1 2 又 A B C 所以 sinB 1 2 又 0 B1 2 且其图象相邻的两条对称轴为 x1 0 x2 2 则 A y f x 的最小正周期为 且在 0 2 上为增函数 B y f x 的最小正周期为 且在 0 2 上为减函数 C y f x 的最小正周期为 2 且在 0 上为增函数 D y f x 的最小正周期为 2 且在 0 上为减函数 解析 由已知条件得 f x 2cos x 3 由题意得T
5、 2 2 T T 2 2 又 f 0 2cos 3 x 0 为 f x 的对称轴 f 0 2 或 2 又 2 3 此时 f x 2cos2x 在 0 2 上为减函数 故选 B 答案 B 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 11 函数 y tan 2x 6 的对称中心为 解析 y tanx x 2 k k Z 的对称中心为 k 2 0 k Z 可令 2x 6 k 2 k Z 解得 x 12 k 4 k Z 因此 函数 y tan 2x 6 的对称中心为 12 k 4 0 k Z 答案 12 k 4 0 k Z 12 在 ABC 中 sinA cosA 2 2 AC 4 AB 5 则 ABC
6、 的面积是 解析 根据题意 由于 ABC 中 sinA cosA 2 2 2sin A 4 2 2 sin A 4 1 2 A 4 5 6 所以 A 7 12 ABC 的面积为 S 1 2 4 5 sin 7 12 5 2 5 6 2 答案 5 2 5 6 2 13 f x 2sin2 4 x 3cos2x 1 x 4 2 则 f x 的最小值 为 解析 f x 2sin2 4 x 3cos2x 1 1 cos2 4 x 3cos2x 1 cos 2 2x 3cos2x sin2x 3cos2x 2sin 2x 3 因为 4 x 2 所以 6 2x 3 2 3 所以 1 2 sin 2x 3
7、1 所以 1 2sin 2x 3 2 即 1 f x 2 所以 f x 的最小值为 1 答案 1 14 在 ABC 中 已知 tanA B 2 sinC 给出以下四个结论 tanA tanB 1 1 sinA sinB 2 sin 2A cos2B 1 cos2A cos2B sin2C 其中正确的是 解析 tanA B 2 sinA B 2 cosA B 2 cosC 2 sinC 2 2sinC 2cos C 2 sin 2C 2 1 2 sin C 2 2 2 C 2 0 2 C 2 4 C 2 即 ABC 是以角 C 为直角的直角 三角形 对于 由tanA tanB 1 得 tanA
8、tanB 即 A B 不一定成立 故 不正确 对于 A B 2 sinA sinB sinA cosA 2sin A 4 1 sinA sinB 2 故 正确 对于 A B 2 sin2A cos2B sin2A sin2A 2sin2A 其值不确定 故 不正确 对 于 A B 2 cos 2A cos2B cos2A sin2A 1 sin2C 故 正 确 答案 三 解答题 共 4 小题 共 44 分 解答应写出必要的文字说明 计算过程或证明步骤 15 10 分 2014 大纲全国卷 ABC 的内角 A B C 的对边分别 为 a b c 已知 3acosC 2ccosA tanA 1 3
9、求 B 解 由题设和正弦定理得 3sinAcosC 2sinCcosA 由 3tanAcosC 2sinC 因为 tanA 1 3 所以 cosC 2sinC tanC 1 2 所以 tanB tan 180 A C tan A C tanA tanC tanAtanC 1 1 即 B 135 16 10 分 已知 0 2 tan 2 1 2 cos 2 10 1 求 sin 的值 2 求 的值 解 1 tan 2 1 2 tan 2tan 2 1 tan2 2 2 1 2 1 1 2 2 4 3 由 sin cos 4 3 sin2 cos2 1 解得 sin 4 5 sin 4 5舍去 2
10、 由 1 知 cos 1 sin2 1 4 5 2 3 5 又 0 2 0 而 cos 2 10 sin 1 cos2 1 2 10 2 7 2 10 于是 sin sin sin cos cos sin 4 5 2 10 3 5 7 2 10 2 2 又 2 3 4 17 12 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 满足 2b c cosA acosC 0 1 求角 A 的大小 2 若 a 3 S ABC 3 3 4 试判断 ABC 的形状 并说明理由 解 1 法 1 由 2b c cosA acosC 0 及正弦定理 得 2sinB sinC cosA sinA
11、cosC 0 2sinBcosA sin A C 0 sinB 2cosA 1 0 0 B sinB 0 cosA 1 2 0 A A 3 法 2 由 2b c cosA acosC 0 及余弦定理 得 2b c b 2 c2 a2 2bc a a 2 b2 c2 2ab 0 整理 得 b2 c2 a2 bc cosA b 2 c2 a2 2bc 1 2 0 A0 2 2 的图象关于直线 x 3对称 且图象上相邻两个 最高点的距离为 1 求 和 的值 2 若 f 2 3 4 6 2 3 求 cos 3 2 的值 解 1 因 f x 的图象上相邻两个最高点的距离为 所以 f x 的最小正周期 T 从而 2 T 2 又因 f x 的图象关于直线 x 3对称 所以 2 3 k 2 k 0 1 2 因 2 2得 k 0 所以 2 2 3 6 2 由 1 得 f 2 3sin 2 2 6 3 4 所以 sin 6 1 4 由 6 2 3 得 0 6 2 所以 cos 6 1 sin2 6 1 1 4 2 15 4 因此 cos 3 2 sin sin 6 6 sin 6 cos 6 cos 6 sin 6 1 4 3 2 15 4 1 2 3 15 8
