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1、 3 1导数的概念 第1课时 2020年4月2日星期四 1 曲线的切线 求曲线y f x 在点P x0 y0 处的切线的斜率 设曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 为曲线C上一点 在P的邻近取一点Q x0 x y0 y 过P Q两点作割线 又设割线PQ的倾斜角为 那么 即是割线的斜率 当 x 0时 动点Q将沿曲线趋向于定点P 从而割线PQ也将随之趋向于切线PT 此时割线PQ的斜率也将趋向于切线PT的斜率 设切线PT的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率的极限就是曲线在点P处的切线的斜率 割线 切线 T 例1 求曲线y f x x2 1在点P 1 2 处的切线方程 因此 切线的
2、方程为y 2 2 x 1 即y 2x 练习1 已知曲线上一点P 1 2 用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程 答案 和y x 1 练习2 求曲线上一点P 1 1 处的切线方程 答案 y 3x 4 设物体作变速直线运动所经过的路程为s f t 以t0为起始时刻 物体在 t时间内的平均速度为 2 瞬时速度 v可作为物体在t0时刻的速度的近似值 t越小 近似的程度就越好 所以当 t 0时 极限 即物体在t0时刻的瞬时速度 例2 物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01
3、上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 解 1 将 t 0 1代入上式 得 2 将 t 0 01代入上式 得 练习3 某质点沿直线运动 运动规律是s 5t2 6 求 1 2 t 2 t这段时间内的平均速度 2 t 2时刻的瞬时速度 3 导数的概念 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 例3 1 求函数y x2在x 1处的导数 2 求函数y x 1 x在x 2处的导数 4 函数在一区间上的导数 即 2 这时 对于开区间 a b 内每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数值这样就在开区间 a b 内构成了一个新的函数 把这一新函数叫做f x 在开区间 a b 内的导函数 简称为导数 记作 1 如果函数在开区间 a b 内每一点都可导 就说f x 在开区间 a b 内可导 f x0 与f x 之间的关系 如果函数y f x 在点x0处可导 那么函数y f x 在点X0处连续 当x0 a b 时 函数y f x 在点x0处的导数f x0 等于函数f x 在开区间 a b 内的导数在点x0处的函数值 例4 已知 解
