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1、对数与对数函数 如果a a 0 a 1 的b次幂等于N 即ab N 那么数b叫做以a为底N的对数 记作logaN b 其中a叫做对数的底数 N叫做真数 式子logaN叫做对数式 三 对数恒等式 1 负数和零没有对数 2 1的对数是零 即loga1 0 3 底的对数等于1 即logaa 1 二 对数的性质 一 对数 自然对数 lnN 常用对数 lgN alogaN N a 0且a 1 N 0 函数y logax a 0 且a 1 叫做对数函数 对数函数的定义域为 0 值域为 如果a 0 a 1 M 0 N 0 那么 四 对数的运算性质 五 对数函数 1 loga MN logaM logaN 3
2、 logaMn nlogaM 六 对数函数的图象和性质 1 定义域 0 2 值域 R 3 过点 1 0 即x 1时 y 0 4 在 0 上是增函数 4 在 0 上是减函数 七 换底公式 换底公式在对数运算中的作用 课堂练习 B A D A B B D 10 方程lg 4x 2 lg2x lg3的解是 x 0或1 B 9 若 log23 x log53 x log23 y log53 y 则 A x y 0B x y 0C x y 0D x y 0 B 1 化简下列各式 1 lg5 2 lg2 lg50 1 解 1 原式 lg5 2 lg2 lg2 2lg5 lg5 2 lg2 2 2lg2lg
3、5 lg5 lg2 2 1 典型例题 3 原式 lg5 3lg2 3 3lg22 lg6 lg6 2 3lg5lg2 3lg5 3lg22 2 3lg2 lg5 lg2 3lg5 2 3 lg2 lg5 2 1 解 由1 a b a2可知 当m 1 00 logn4 0 原不等式成立 解 由已知logm4 logn4 可分情况讨论如下 m 1 n 0 log4m log4n n m 1 3 已知logm4 logn4 比较m n的大小 当m 1 n 1时 由logm4 logn4 0得 当0logm4 logn4得 log4m log4n 0 m n 1 综上所述 m n的大小是m 1 n 0
4、或n m 1或0 m n 1 0 logba 1 4 已知2x 3y 6z 求x y z之间的关系 解 令2x 3y 6z k 则x log2k y log3k z log6k 当k 1时 x y z 0 当k 1时 由对数换底公式得 logk6 logk2 logk3 解 原式即为 loga x2 4 y2 1 loga 5 2xy 1 x2 4 y2 1 5 2xy 1 整理得x2y2 x2 4y2 10 xy 9 0 配方得 xy 3 2 x 2y 2 0 解 由已知x 0 y 0 x 2y 0 x 2y 0 lgx lgy 2lg x 2y lg xy lg x 2y 2 xy x 2
5、y 2 x2 5xy 4y2 0 x y x 4y 0 x y 舍去 或x 4y 7 已知a b 1 且3lgab 3lgba 10 求lgab lgba的值 lgab lgba 2 lgab lgba 2 4lgab lgba a b 1 lgab lgba 0 a 0 t 0 要使原函数在区间 2 4 上是增函数 应有 解得 a 1 存在实数a 只须a 1 即可满足要求 解 1 a 1 x 1 若x 0 则当1 a 2时 f 1 x g x 解 2 当x 0时 显然有f 1 x g x 当x 0时 f 1 x g x x 0 a 1 2xax 1 当1 a 2时 ax 2x f 1 x g
6、 x 0 f 1 x g x 当a 2时 f 1 x g x 当a 2时 ax 2x f 1 x g x 0 f 1 x g x 综上所述 若x 0 则f 1 x g x 当a 2时 f 1 x g x 当a 2时 f 1 x g x 补充例题 1 解方程 x log2 2x 31 5 2 设a b分别是方程log2x x 3 0和2x x 3 0的根 求a b的值 x 5 a b 3 1 奇函数 5 已知关于x的方程lg ax lg ax2 4的所有解都大于1 求实数a的取值范围 a 1时 0 a 1时 6 设s t 1 m R x logst logts y logs4t logt4s m logs2t logt2s 1 将y表示为x的函数y f x 并求出f x 的定义域 2 若关于x的方程f x 0有且仅有一个实根 求m的取值范围 1 f x x4 m 4 x2 2 1 m 其定义域为 2 2 1 注意 x2 4
