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1、Chapter7数值积分与数值微分 内容提纲 Outline 求积公式的代数精度插值型求积公式复化求积法 为什么要数值积分 在微积分里 按Newton Leibniz公式求定积分要求被积函数f x 有解析表达式 f x 的原函数F x 为初等函数 Whydowedonumericalintegral 问题 f x 没有解析表达式 只有数表形式e g f x 有表达式 但原函数不是初等函数e g 它们的原函数都不是初等函数 求定积分就得通过近似计算 数值积分求得积分近似值基本思想是对被积函数进行近似 给出数值积分 同时考虑近似精度 下面首先给出代数精确度的概念 7 1代数精确度 本章讨论的是形如
2、的定积分的数值计算 其中为权函数 要满足5 4节中所提的条件 一般把积分区间n个点 xk 上的函数值f xk 加权Ak的和作为积分I f 的近似 即或记 2 上式中xk Ak分别称为求积节点 求积系数 求积系数与被积函数f x 无关 而与求积节点 求积区间 权函数有关 称公式 2 为n点求积公式 有时也称为一个n点求积公式 为求积公式的误差 用此公式 求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分 构造或确定一个求积公式 要讨论解决的问题有 i 确定求积系数Ak和求积节点n ii 求积公式的误差估计和收敛性 用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的 好 与 差 呢 通常用 代数精确度 的高低作为求
3、积公式 好 与 差 的一个标准 在后面的讨论中我们将看到 节点相同的求积公式 代数精确度越高 求出的积分近似值精确度一般越好 下面给出代数精确度的定义 定义 若对任意的 求积公式 2 的误差都满足 则称该求积公式具有n次代数精确度 验证一个求积公式所具有的代数精确度用定义 是极不方便的 为此给出另一个定义 定义2若对函数 求积公式 2 精确成立 即而 则称其具有n次代数精确度 因为函数组是的一组基函数 所以两个定义是等价的 但在具体应用时 定义2比定义1要方便的多 例 验证求积公式具有3次代数精确度 解 当而有 1 当 2 当 3 当 1 当故求积公式具有三次代数精确度 7 2插值型求积公式
4、这一节所讨论的求积公式 都是用在区间 a b 上对被积函数f x 作插值所得插值多项式Pn x 代替被积函数f x 导出的公式 这一类求积公式的求积节点xk 就是对f x 作插值时的插值节点 所以这类求积公式称为插值型求积公式 为简便起见 这节讨论节点分布为等距并且权函数时的插值型求积公式的构造等问题 7 2 1Newton Cotes求积公式 一 公式的推导设将积分区间 a b n等分 求积节点为 那么 令x a th 则t x a h 且由可知 由Lagrange插值基函数有而 所以 将n次Lagrange插值多项式Ln x 代替被积函数f x 得记称为Cotes求积系数 它与 3 式中的
5、求积系数Ak相差一个常数b a即 把Ak代入到 3 式中 得到Newton Cotes求积公式 例如当n 4 5时 Newton Cotes公式分别为n 0 1 2三种情形 在讨论 3 式中的余项R 1 f 后再详细讨论 二 误差估计求积公式 3 计算出的积分I f 的近似值In 1 f 的误差多大 若被积函数 记 对n次Lagrange插值余项求积 可得n 1个节点的Newton Cotes求积公式的误差估计式为 5 验证求积公式 3 的代数精确度 不用误差估计的 4 式 而用直接对插值余项求积的形式 即 5 由 5 式 显而易见 当时 因可知 R 1 f 0 所以我们所n 1点的求积公式
6、3 至少具有n次的代数精确度 进一步可以证明 当n为偶数时 求积公式 3 的代数精确度可以达到n 1次 三 几种常见的Newton Cotes求积公式对n 0 1 2 按公式 3 可以得出下面三种常见的Newton Cotes求积公式 1 n 0时的矩形求积公式分别以积分区间 a b 的左 右端点和区间中点 即x a b a b 2为求积节点得到 左矩形求积公式 右矩形求积公式 中矩形求积公式 三个求积公式的误差估计 可将函数f x 分别在处展开到含f x 的一阶导数的Taylor公式在区间 a b 上积分推得 2 n 1时的梯形求积公式按Cotes系数公式计算得故求积系数A0 A1为 梯形求积公式为记 6 式的几何意义如图7 2所示 见p327 容易验证公式 6 的代数精确度的次数为1 考虑梯形求积公式 6 的误差估计R 1 f 假定时 用推广的积分中植定理 将过 a f a b f b 点的线性插值的余项在 a b 上积分 可得其中 也称为梯形求公式 3 n 2时的Simpson求积公式按Cotes系数公式可以计算出为此 所以 8 公式 8 称为Simpson求积公式 由7 1节例1可知Simpson求积公式 8 具有 次的代数精确度 Simpson求积公式 8 的误差估计R 1 f 不能直接有插值余项利用推广的积分中值定理在 a b 上积分推出 原因是在 a b 上要变号
