《导数的综合应用：利用导数研究函数的图像及零点问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的综合应用：利用导数研究函数的图像及零点问题（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1页 共16页 第第六六讲讲 利用导数研究函数的图像及零点问题利用导数研究函数的图像及零点问题 复习指导 复习指导 本讲复习时 应注重利用导数来研究函数图像与零点问题 复习中要注意等价转化 分类讨论等数 学思想的应用 基础梳理基础梳理 1 1 确定函数的图像确定函数的图像 特征点 零点 极值点 顶点 与特征点 零点 极值点 顶点 与y轴的交点轴的交点 特征线 渐近线 对称轴特征线 渐近线 对称轴 2 函数的零点 求函数的零点的知识提示 判别式 介值定理 单调性 两个注意 描绘函数的图像首先确定函数的定义域 注意利用函数的图像确定函数的零点 三个防范 常见函数的图像 函数 函数 y aex b
2、x c a 0 b 0 与函数与函数 y ax b clnx a 0 c 0 的图像类似于二次函数的图像类似于二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像的图像 函数 y aex bx c a 0 b 0 与函数 y ax b clnx a 0 c 0 的图像类似于二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像 函数 y aex bx2 cx d a 0 b 0 与函数 y ax2 bx c dlnx a 0 d 0 的图像类似于二 次函数 y ax3 bx2 cx d a 0 的图像 第2页 共16页 函数 y aex bx2 cx d a 0 b 0 与函数 y ax2 bx c dln
3、x a 0 d 0 的图像类似于二 次函数 y ax3 bx2 cx d a 0 的图像 双基自测 画函数 y x 1 lnx 的图像 画函数 y ex x2的图像 画函数 y e x x的图像 画函数 y lnx x 的图像 关于x的方程 exlnx 1 的实根个数是 1 初等数学的方法能够解决的函数问题 定义域 奇偶性 周期性 对称轴 渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题 值域 单调性 零点 极值点 考点一 函数的图像问题 题型 画函数的图像 例 1 画函数 y ex x 1 的图像 练习 1 画函数 y x2ex的图像 例 2 10 山东文理 函数 y 2x x2的图像大致是 第
4、3页 共16页 解 因当 x 2 或 4 时 2x x2 0 故排除 B C 当 x 2 时 2x x2 1 4 4 0 故排除 D 故选 A 练习 2 画函数 y ex 1 2x 2 x 的图像 画函数 y x2 lnx 的图像 例 3 画函数 y xex的图像 画函数 y x ln x的图像 练习 3 画函数 y xlnx 的图像 画函数 y x ex的图像 题型 识图 例 4 12 山东 函数 cos6 22 xx x y 的图像大致为 解 函数为奇函数 故图像关于原点对称 排除 A 令 y 0 得 x 1 6k 12 函数零点有无穷 多个 排除 C 且 y 轴右侧第一个零点为 12 0
5、 又 y 2 x 2 x为增函数 当 0 x 12时 y 2 x 2 x 0 cos6x 0 故函数 0 22 6cos xx x y 排除 B 选 D 练习 4 11 山东理 函数 y x 2 2sinx 的图像大致是 解 函数 y x 2 2sinx 为奇函数 且 y 1 2 2cosx 令 y 0 得 cosx 1 4 由于函数 y cosx 为周 期函数 而当 x 2 时 y x 2 2sinx 0 当 x 2 时 y x 2 2sinx 0 则答案应选 C 题型 用图 第4页 共16页 例 5 南京市 2013 届高三 9 月学情调研 2012 09 已知函数 f x 2x2 m 的
6、图像与函数 g x ln x 的图像有四个交点 则实数 m 的取值范围 为 1 2 ln2 练习 5 已知使函数 f x x3 ax2 1 0 a M0 存在整数零点的实数 a 恰有 3 个 则 M0的取值 范围是 26 9 63 1 16 考点二 函数的零点问题 题型 判断已知函数的零点所在区间 例 6 09 天津理 设函数 f x x 3 lnx 则 y f x 的零点个数是 解 f x 1 x x 3 1 令 f x 0 得 x 3 令 f x 0 得 0 x 3 令 f x 0 得 x 3 故知函 数 y f x 在区间 0 3 上为减函数 在区间 3 为增函数 在点 x 3 处有极小
7、值 1 ln3 0 故有两个零点 分别在 1 e 和 3 上 练习6 已知函数f x x4 9x 5 则y f x 的图像在区间 1 3 内与x轴交点的个数为 解 f x 4x3 9 令 f x 0 得 x 9 4 1 3 1 故在区间 1 3 内 f x 0 即 y f x 在区 间 1 3 上单调递增 故 y f x 的图像在区间 1 3 内与 x 轴交点的个数为 1 题型 已知函数的零点的情况 求参数的范围 例 7 已知函数 f x kx g x lnx x 如果关于 x 的方程 f x g x 在区间 1 e e 内有两个实数解 那么实数 k 的取值范围是 法一 方程 f x g x
8、在区间 1 e e 内有两个实数解 即 k lnx x2 在区间 1 e e 内有两个实数解 令 h x lnx x2 则 h x 1 x3 1 2lnx 令 h x 0 得 x e 则函数 h x 在 1 e e 上单调递增 在 e e 上单调递减 故 h x max h e 1 2e 而 h 1 e e 2 h e 1 e2 要使得方程 f x g x 在区间 1 e e 内有两个实数解 故 k 的取值范围是 1 e2 1 2e 法二 易知 g x lnx x 的经过原点的切线为 y 1 2ex 而点 1 e e 与 e 1 e 与原点连线的斜率分别 为 e2与 1 e2 故 k 的取值范
9、围是 1 e2 1 2e 练习 7 已知 f x ax2 a R f x 2lnx 讨论函数 F x f x g x 的单调性 若方程 f x g x 在区间 2 e 上有两个不等的实数解 求实数 a 的取值范围 第5页 共16页 解 F x f x g x ax2 2lnx 则 F x 2a x x2 1 a 当 a 0 时 F x 0 F x 在 0 上单调递减 当 a 0 时 F x 2a x x 1 a x 1 a 在 0 1 a 上 F x 0 则 F x 在 0 1 a 上单调 递减 在 1 a 上 F x 0 则 F x 在 1 a 上单调递增 解一 方程 f x g x 在区间
10、 2 e 上由两个不等的实数解 即 F x 0 在区间 2 e 上有两 个不等的实数解 则 2 0 0 1 0 1 2 F F e F a e a 解得 ln2 2 a 1 e 解二 方程 f x g x 在区间 2 e 上由两个不等的实数解 即 a 2ln x x2 在区间 2 e 上有两个 不等的实数解 设 p x 2ln x x2 则 p x 2 x3 1 2lnx 令 p x 0 得 x e 则在 2 e 上 p x 0 p x 在 2 e 上单调递增 在 e e 上 p x 0 则 p x 在 e e 上单调递减 故 p x max p e 1 e 而 p 2 ln2 2 p e 1
11、 e2 故实数 a 的取值范围为 ln2 2 1 e 例 8 已知 f x x2 ax 2lnx a R 当 a 2 时 求函数 y f x 在 x 1 处的切线方程 若函数 g x f x ax m 在区间 1 e e 上由两个不等的零点 求实数 m 的取值范围 解 当 a 2 时 f x x2 2x 2lnx 则 f x 2x 2 2 x 则 f 1 2 f 1 2 故函数 y f x 在 x 1 处的切线方程为 y 2x 解一 g x x2 m 2lnx 则 g x 2 x x 1 x 1 故在 1 e 1 上 g x 0 故 g x 在区 间 1 e 1 上单调递增 在 1 e 上 g
12、 x 0 故 g x 在区间 1 e 上单调递减 故 g x max g 1 m 1 而 g 1 e m 2 1 e2 g e m 2 e 2 由函数 g x f x ax m 在区间 1 e e 上由两个不等的 零点 则 g x max g 1 m 1 0 g 1 e m 2 1 e2 0 故实数 m 的取值范围为 1 m 2 1 e2 解二 方程 g x x2 m 2lnx 0 即 m x2 2lnx 令 h x x2 2lnx 则 h x 2 x x 1 x 1 令 h x 0 得 x 1 h x 在区间 1 e 1 上单调递减 在 1 e 上单调递增 故 h x min h 1 1 而
13、 h 1 e 2 1 e2 h e e 2 2 由方程 g x f x ax m 在区间 1 e e 上由两个不等的零点得 1 m 第6页 共16页 2 1 e2 题型 判断函数有零点的条件 例 9 设函数 f x x3 2ex2 mx lnx 记 g x f x x 若函数 g x 至少存在一个零点 则实数 m 的取值范围是 解 g x x2 2ex m lnx x 则 g x 2 x e 1 x2 1 lnx 在 0 e 上 g x 0 g x 单调递 减 在 e 上 g x 0 g x 单调递增 故 g x min g e m e2 1 e 由函数 g x 至少存在一个 零点知 g x
14、min g e m e2 1 e 0 解得 m e 2 1 e 即实数 m 的取值范围是 e 2 1 e 练习 9 已知函数 f x ax2 x ex 其中 e 是自然数的底数 a R 当 a 0 时 解不等式 f x 0 若当 x 1 1 时 不等式 f x 2ax 1 ex 0 恒成立 求 a 的取值范围 当 a 0 时 试判断 是否存在整数 k 使得方程 f x x 1 ex x 2 在 k k 1 上有解 若存在 请写出所有可能的 k 的值 若不存在 说明理由 解 ax2 x ex 0 因 ex 0 故 ax2 x 0 又 a 0 故解集为 x 0 x 1 a 当 x 1 1 时 即不
15、等式 ax2 2a 1 x 1 0 恒成立 若 a 0 则 x 1 0 该不等式满足在 x 1 1 时恒成立 若 a 0 由于 4a2 1 0 故 g x ax2 2a 1 x 1 有两个零点 则需满足 0 1 0 212 a g aa 即 0 0 212 a a aa 此时 a 无解 若 a 0 则需满足 0 1 0 1 0 a g g 即 0 0 2 3 a a a 故 2 3 a 0 综上所述 a 的取值范围是 2 3 a 0 方程即为 ex x 2 0 设 h x ex x 2 由于 y ex和 y x 2 均为增函数 则 y h x 也是 增函数 又因 h 0 1 0 h 1 e 1
16、 0 故该函数的零点在区间 0 1 上 又由于函数为增函 数 故该函数有且仅有一个零点 故方程 ex x 2 0 有且仅有一个根 且在 0 1 内 故存在唯 一的整数 k 0 题型 讨论含有参数的函数的零点 例例 1 10 0 讨论方程 x3 3ax 2 0 a 0 的解的个数 第7页 共16页 解 设 f x x3 3ax 2 则 f x 3 x a x a 知 y f x 在 a 上单调递增 y f x 在 a a 上单调递减 y f x 在 a 上单调递增 y f x 的极大值为 f a 2 2a a 极小值为 f a 2 2a a 当极小值 f a 2 2a a 0 时 即 0 a 1 方程仅有一个实数根 当极小值 f a 2 2a a 0 时 即 a 1 方程仅有三个实数根 练习 10 已知函数 f x 1 2x 2 kx lnx k 为常数 若函数 y f x 存在极值 则函数 y f x 的零点 个数 解 易知 当 k 2 时 y f x 有极值 因 x1 2 2 42 2 4 kk kk 2 k 1 故 lnx1 0 且函数 y f x 的极大值为 f x1 1 2x
