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1、曲线运动 一、本讲内容：第五章“曲线运动”第一节 曲线运动、运动的合成和分解二、学习指导曲线运动的三个基本要点：(1)曲线运动的速度方向时刻在改变，是一个变速运动。(2)曲线运动轨迹上某一点（或某一时刻）的瞬时速度的方向，就在曲线这一点的切线方向上。(3)做曲线运动要有一定的条件：物体所受合外力与它的速度夹成一定的角度。2、理解曲线运动速度方向的思想方法“无限分割逐渐逼近”。如图1、质点做曲线运动在时间t内从A到B，这段时间内的位移即为割线AB，平均速度的方向就是割线AB的方向。如果t取得越小，平均速度的方向依次变为割线AC、AD的方向（注意已逐渐逼近A处切线的方向）。当t0时,这极短时间内的
2、平均速度即为A点的瞬时速度VA,它的方向便在过A的切线方向上。对运动的合成和分解，要知道以下几点：(1)它是一个实际问题(如船渡河)，又是一种研究复杂运动的基本方法将复杂运动分解为两个方向上的，规律能为我们掌握的运动，从而使我们通过运动合成得到复杂运动的情况。(2)运动合成在实际问题中体现为位移、速度、加速度等物理量的合成，因为这三个都是矢量，故合成的运算都服从矢量运算法则，运动合成、分解通常都用到平行四边形定则。(3)运动的合成要注意同一性和同时性：只有同一物体的两个分运动才能合成；只有同时进行的两个运动才能合成，分运动和合运动同时发生，同时结束。(4)互成角度的两个匀速直线运动的合运动也是
3、匀速直线运动，其他情况则要具体分析：仅当两个分运动的合速度和合加速度在同一直线上时，合运动才是直线运动。三、典型例题例1、光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴夹成角(如图)，与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力Fx 和沿y轴正方向的恒力Fy，则（ ）A、因为有Fx，质点一定做曲线运动B、如果FyFx，质点向y轴一侧做曲线运动C、如果Fy=Fxtan,质点做直线运动D、如果FxFycot,质点向x轴一侧做曲线运动分析：质点所受合外力与速度夹成角度时，质点作曲线运动，若所受合外力始终与速度同方向则作直线运动。若Fy=Fxtan，则Fx和Fy的合力F与v在一直线上（如图），此条件满足时物
4、体作直线运动。若FxFycst，则Fx、Fy的合力F与x轴的夹角，则物体向x轴一侧作曲线运动。正确选项为C、D讲评 从质点所受合外力F与其合速度v之间的夹角情况（或质点合加速度a与其合速度v之间的夹角情况）入手，判断质点是否作直线运动，是解同类型问题的要点。例2、 如图是抛出的铅球运动轨迹的示意图（把铅球看成质点）画出铅球沿这条曲线运动时在A、B、C、D、E各点的速度方向，及铅球在各点的受力方向（空气阻力不计）分析：曲线运动中物体在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向，答案如下所示，在运动过程中，物体只受重力，方向竖直向下思考：铅球为什么做曲线运动？由A至B，铅球速度大小如何变化？C至D
5、呢？例3、 某质点在恒力F作用下，F从A点沿下图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的哪条曲线？（ ）A曲线a B直线b C曲线c D三条曲线均有可能分析：物体在A点的速度方向沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动时，F必有垂直速度的分量，即F应指向轨迹弯曲的一侧物体在B点时的速度沿B点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线A运动到B时，若撤去此力F，则物体必沿b的方向做匀速直线运动；若使F反向，则运动轨迹应弯向F方向所指的一侧，即沿曲线a运动；若物体受力不变，则沿曲线c运动以上分析可知，在曲线运动中，物体的运动轨迹总是
6、弯向合力方向所指的一侧正确答案：A例4、 下列说法正确的是（ ）A、两匀速直线运动的合运动的轨迹必是直线B、两匀变速直线运动的合运动的轨迹必是直线C、一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹一定是曲线D、两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹一定是直线分析： 物体做曲线运动的条件是所受的合外力方向与初速度方向不在一条直线上，而物体所受合外力方向与初速度方向在一条直线上，则做直线运动物体做匀速直线运动时，合外力为零，两个匀速直线运动合成时，合外力仍为零，物体仍做匀速直线运动，A正确物体做匀变速直线运动时，受到的力是恒力，两个匀变速直线运动合成时合外力也是恒力，若合外力与合初速度方
7、向不在一条直线上时，合运动的轨迹就是曲线，B错当两个分运动在一条直线上时，即合力与合初速度在一条直线上，合运动的轨迹仍是一条直线，C错两个初速度为零的匀变速直线运动合成时，合外力是一恒力，由于合初速度为零，所以一定沿合力方向运动，其轨迹一定是一条直线，D正确所以选A、D例5、汽车以3m/s的速度向东开行，雨点以4m/s的速度下落，求车中乘客所看到的雨点下落速度的大小和方向。分析：题目问的是雨点相对于运动着的汽车乘客的运动情况，则要思考：1、在乘客看来，雨点在进行着哪两个分运动？2、如何由这两个分运动得到合运动的情况？解：设雨点在空中不动，乘客看到它有向西3m/s速度，雨点实际又有向下4m/s速
8、度，兼而有之时乘客看到的雨点速度如图中v。 讲评 初学本节最容易犯错误是将题中所给两个速度矢量v1和v2照图作出平行四边形，以对角线表示的v作为答案。殊不知图中v1是乘客的运动，v2 是雨点的运动，以不同两个物体的速度为邻边作出的平行四边形，其对角线毫无物理意义，不能表示真正的合运动。例6、河的宽度是200m，水流的速度是1m/s，有一小船划水得到的速度是2m/s，问：1、如果要使小船渡河所走的轨迹最短，小船应向什么方向划行？2、如果使小船渡河的时间最短，这最短时间多大？分析：1、船渡河轨迹最短对应于船体运动轨迹垂直河岸，即船的合运动轨迹垂直河岸，已知一个分运动速度的大小和方向，另一个分运动速
9、度的大小，还有合运动速度的方向，如何通过画平行四边形得到待求量？2、显然，船在垂直河岸方向上有最大分速度时，渡河时间最短，那么，如何渡河才使垂直河岸有最大分速度？解：1、小船合运动垂直河岸时，航行轨迹最短如图(a)小船应向与上游河岸夹角成60的方向划行；2、小船船头直指对岸划行时，（图(b)）,渡河时间最短 讲评 在河宽H，船速v1一定时，由运动合成同时性原则可知，在一般情况中，渡河时间（右图） t=H/v1sin显然，当=90时，渡河时间最小为，此时，船头直指对岸划行，运动情景即图（b）例7、河水的流动速度是4m/s，一条不船要沿着图中虚线所示的直线从A到达B，但要求船划水的速度最小，则应使
10、船的划速与下游河岸夹成多大的角度？这个最小的划速有多大？分析：1、先作出本题一般情况下速度合成的平行四边形图线，可设船的划速与AB线的夹角为。2、通过正弦定理寻找待求的划速与已知的水速间的函数关系。3、思考在取何值时，划速取最小值？解：题意指出船合速度方向即AB方向，合速度与分速度关系如图由正弦定理得：， 当=90时,v1取最小值， ，v1与合运动速度v垂直，与下游河岸夹成120角。讲评 从本例及上例中，可以看到，在渡河问题的处理中，遇有极值问题时，常常要用到如下方法：1、先按题意要求作出一般情况下渡河的情景，画出船的划速、由水带动的船速及船合运动速度之间的平行四边行图形。2、取平行四边形中一
11、只斜三角形，由正弦定理找未知量与已知量之间的函数关系。3、利用正弦函数（或余弦函数有极大值）的特点，求解物理量取极值时的条件及极值的大小。 例8、如图4，轮船以恒定的水平速度v0沿水平向远离河岸方向运动，通过跨越滑轮的钢丝绳拉动岸上水平轨道上的重物，当牵引绳与水平面夹角为的瞬间，岸上重物移动的速度多大？分析：1、作一个船从A到B的图示，看看比滑轮以下那段绳从什么位置到什么位置？2、进一步思考由于船的水平运动对绳产生了怎样的两个效果？3、将船速v0按以上两个效果的方向分解，即可得到绳子被牵拉的速度，这也就是重物的运动速度。解：设当船从AB（如图），绳从CACB，可见船的运动产生两个效果：(1)使
12、绳沿绳的方向拉伸；(2)使绳绕C点作了一个转动。所以，任一时刻船的速度都应沿绳的方向及垂直绳的方向分解如图所示，则 v1=v0cosv1即为绳牵拉重物移动的速度。讲评 本类型题属牵连运动中的速度分解问题，要求较高。解题基本原则是：1、我们看到的运动（如本题中船的运动）是真实运动。2、考虑这个真实运动通过牵连产生怎样两个方向的效果。3、将将真实运动按实际效果的方向（即分速度的方向）进行分解。从得到的平行四边形中寻找几何关系求得问题的解。也可以通过运动合成观点处理：设想研究对象有微小位移AB（如图），这个运动可看成从AD及从DB两个分运动合成。当t0时。DB的分运动就是沿绳拉伸方向（从CA方向）进
13、行的，AD的分运动就是垂直于CA方向进行的，于是合运动与两个分运动方向间的关系弄清，通过平行四边形定则就可得到结果了。巩固练习1、下列说法中，正确的是（ ）A、曲线运动一定是变速运动B、变速运动一定是曲线运动C、曲线运动中加速度的方向与速度的方向不在一条直线上D、加速度的方向与速度的方向不在一条直线上时，物体做曲线运动2、下列关于运动合成与分解的说法中正确的是（ ）A、两个直线运动的合运动一定是直线运动B、两个互成角度的变速直线运动的合运动一定是曲线运动C、两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动D、两个互成角度的匀变速直线运动的合运动有可能是直线运动3、小船在静水中的速度是4m/
14、s，在水流速度为3m/s、宽为60m的河中渡河时：(1)若小船的船头正对着岸过河时，它将在何处抵岸？过河的时间为多少？(2)如果小船要正对着岸抵岸，行驶时船头应指向什么方向？过河的时间又是多少？（设河中的水流速度到处一样）4、汽艇在静水中的速度是10km/h，渡河时向着垂直于河岸的方向匀速行驶。已知水的流速为3km/h，河宽500m，汽艇需多长时间驶到对岸？汽艇在河水中实际运动的距离是多大？如果河水流速是2km/h或4km/h，汽艇渡河时间又分别为多少？5、某人以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水匀速流动时，关于他过河所需时间、发生的位移与水速的关系，正确的是（ ）A、水速小时，位移小，时间短
15、B、水速大时，位移大，时间短C、水速大时，位移大，时间不变D、位移、时间与水速无关6、降落伞在空气中运动所受的阻力与速率成正比、同一跳伞运动员最后匀速下落的速度是一定的。已知某跳伞运动员在无风天气从高空跳伞，到接近地面匀速降落时的速度为v1.试求在水平风速为v2时，该跳伞运动员从高空跳伞着地的速度为多大。7、图5为工厂中使用行车搬运重物的示意图，如果行车以v1=0.4m/s的速度匀速向右移动，重物G则以v=0.5m/s的速度匀速向右上方运动。那么，行车电动机正以多大的速度收缩钢丝绳吊起重物？8、以速度v匀速航行的舰艇准备射击与舰身垂直方向水面上的某一固定目标，炮弹发射速度为v0（看做水平方向上的匀速运动），则发射方向与舰身的夹角为多大？9、如图6所示，玻璃板生产线上宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度连续下断向前行进。在切割工序A处金钢钻的走刀速度是10m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金钢钻头实际运行的轨道是怎样的？每切割1次的时间为多长？10、如图7，船从A处出发，横渡一条河，如果船头保持与河岸垂直的方向匀速航
