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1、六安市求学教育2011-2012 学年七年级数学(人教版上)同步练习第三章 第四节 实际问题与一元一次方程一. 教学内容:实际问题与一元一次方程1. 体会数学建模思想. 2. 进一步探究如何用一元一次方程解决实际问 题. 二. 知识要点:1. 数学建模这里所讲的数学建模是利用数学方法(一元一次方程)解决实际问题的一种实践. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式(一元一次方程)表达,建立起数学模型,然后运用数学方法进行求解. 建立数学模型的这个过程就称为数学建模. 2. 用一元一次方程解决实际问题的几个注意事项(1)先弄清题意,找出相等关系,再按照相等关系来选择未知
2、数和列代数式,比先设未知数,再找出含有未知数的代数式,再找相等关系更为合理. (2)所列方程两边的代数式的意义必须一致,单位要统一,数量关系一定要相等. (3)要养成“验”的好习惯,即所求结果要使实际问题有意义. (4)不要漏写“答”、“设”和“答”都不要丢掉单位名称. (5)分析过程可以只写在草稿纸上,但一定要认真. 三. 重点难点:1. 重点:进一步体现一元一次方程与实际的密切联系,渗透数学建模思想,培养运用一元一次方程分析和 解决实际问题的能力. 六安市求学教育2. 难点:本讲问题的背景和表达都比较贴近实际,其中有些数量关系比较隐蔽,所以在探究过程中正确地列方程是主要难点. 突 破难点的
3、关键是弄清问题背景,分析清楚有关数量关系,特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系. 【典 型例题】例 1. 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物,如图中实线所示. 小明将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图中虚线所示. 小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米?分析:饰物形状变化前后有两个不变的量,一个是周长,另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽. 根据题意可设长方形的长为 x,则长方形的周长为 2x210,梯形的周长为 101010610652. 则 2x2052,从而解得 x16. 解:设小明所钉长方形的长为 x,根据题意得:2x2101010610610整理得,2 x
4、2052解得, x16由于饰物变化前后长度为 10 的边没有变化,所以长方形的一边长为 10 厘米. 答:长方形的长为 16 厘米,宽为 10 厘米. 评析:图形变化问题的等量关系往往是变化前后的周长相等、面积相等、体积相等. 例 2. 一批货物,甲把原价降低 10 元卖出,用售价的 10%做积累,乙把原价降低 20 元,用售价的 20%做积累,若两种积累一样多,则这批货物的原售价是多少?六安市求学教育分析:设这批货物的原售价为 x 元,则甲的积累是( x10)10%元,乙的积累是( x20)20%,相等关系是:甲的积累乙的积累. 解:设这批货物的原售价为 x 元,根据题意得:( x10)10
5、%( x20)20%化简得: x102( x20)即 x102 x40解得 x30答:这批货物的原售价为 30 元. 评析:这个问题的相等关系比较简单,难点是对两个百分数的处理. 例 3. (2008 年广东湛江)某足球比赛的计分规则为胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分. 一个队踢 14 场球负 5 场共得 19 分,问这个队胜了几场?分析:根据题意,所得的 19 分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分,而踢胜的场数和踢平的场数共 1459 场,如果设胜了 x 场,那么踢平的场数就是 9 x 场. 分别乘它们的分值,和为 19. 解:设胜了 x 场,根据题意得:3x1(14 x
6、5)19即 3x9 x19解得 x5答:这个队胜了 5 场. 评析:积分多少与胜、平、负的场数相关,同时也与比赛积分规定有关,如果对体育比赛有一定了解,会有助于理解题意. 六安市求学教育例 4. (2008 年安徽)某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了 5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了 14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率. 分析:数量关系如下表:上个月 这个月石油进口量 1 15%进口石油费用 1 114%石油价格 1 1 x解 :设这个月的石油价格相对上个月的增长率为 x. 根据题意得:(1 x)(15%)114%解得 x1/220%答:这个
7、月的石油价格相对上个月的增长率为 20%. 评析:借助表格来分析较复杂的数量关系. 这道题所用的相等关系是:数量价格费用. 例 5. (2007 年上海)2001 年以来,我市药店积极实施药品降价,累计降价的总金额为269 亿元. 五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示,表中缺失了 2003 年,2007 年的相关数据. 已知 2007 年药品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍,结合表中信息,求2003 年和 2007 年的药品降价金额. 年份 2001 2003 2004 2005 2007降价金额(亿元) 54 35 40 分析:相等关系较为明显,可以根据累计降价的总金额为
8、 269 亿元列方程,结合表格如果设 2003 年降价金额为 x 亿元,则 2007 年降价金额为 6x 亿元,有54 x35406 x269. 解:设 2003 年降价金额为 x 亿元,根据题意得:54 x35406 x269整理得,7 x140六安市求学教育解得, x206x620120 答:2003 年和 2007 年药品降价金额分别是 20 亿元和 120 亿元评析:这个问题是以表格形式传递信息的,这种形式在现实中很普遍,重点培养从不同形式获取有关数据信息,是值得注意的问题. 例 6. (2008 年希望杯初一第 1 试)初一(1)班有学生 60 人,其中参加数学小组的有 36人,参加
9、英语小组的人数比参加数学小组的人数少 5 人,并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的 1/4 多 2 人,则同时参加这两个小组的人数是 ( )A. 16 B. 12 C. 10 D. 8解:B评析:这道题的数量关系非常复杂,但是结合图形可以使其变得很明朗. 【方法总结】六安市求学教育应用数学知识去研究和和解决实际问题,遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型. 从这一意义上讲,可以说数学建模是一切科学研究的基础. 没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果,所以,建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一. 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们
10、应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一. 【模拟试题】(答题时间:60 分钟)一. 选择题1. 实验中学七年级(2)班有学生 56 人,已知男生人数比女生人数的 2 倍少 11 人,求男生和女生各多少人?下面设未知数的方法,合适的是 ( )A. 设总人数为 x 人 B. 设男生比女生多 x 人C. 设男生人数是女生人数的 x 倍 D. 设女生人数为 x 人2. 甲厂的年产值为 7450 万元,比乙厂的年产值的 5 倍还多 420 万元,若设乙厂的年产值为 x 万元,下列所列方程中错误的是 ( )A. 5x42 07450 B. 74505 x420C. 7450(5 x420)0
11、D. 5 x42074503. 某种品牌的彩电降价 30%后,每台售价为 a 元,则该品牌彩电每台原价应为 ( )A. 0.7a 元 B. 0.3 a 元 C. 元D. 元 4. A、B 两城相距 720km,普快列车从 A 城出发 120km 后,特快列车从 B 城开往 A 城,6 h后两车相遇. 若普快列车是特快列车速度的,且设普快列车速度为 xkm/h,则下列所列方程错误的是 ( )六安市求学教育5. 用两根长 12cm 的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为 21 的长方形,则长方形和正方形的面积依次为 ( )A. 9cm2和 8cm2 B. 8cm2和 9cm2 C. 32cm2和36c
12、m2 D. 36cm2和 32cm2*6. 有一位 旅客携带了 30kg 重的行李从上海乘飞机去北京,按民航总局规定:旅客最多可免费携带 20kg 重的行李,超重部分每千克按飞机票价格 1.5%购买行李票,现该旅客购买了 180 元的行李票,则他的飞机票价格应是 ( ) A. 800 元 B. 1000 元 C. 1200 元D. 1500 元二. 填空题1. (2006 年河北)一件运动衣按原价的八折出售时,售价是 40 元,则原价为_元. 2. 买 4 本练习本与 3 枝铅笔一共用了 4.7 元. 已知铅笔每枝 0.5 元,则练习本每本_元. *3. 一个长方形鸡场的一边靠墙,墙的对面有一
13、个 2m 宽的门,另三边(门除外)用篱笆围成,篱笆总长 33m,若鸡场的长宽32(尽量用墙),则鸡场的长为_ m,宽为_ m. 4. 某市居民 2007 年末的储蓄存款达到 9079 万元,比 2006 年末的储蓄存款的 15 倍还多4 万元,则 2006 年末的存款为_. 5. (2008 年甘肃省白银)某商店销售一批服装,每件售价 150 元,打 8 折出售后,仍可获利 20 元,设这种服装的成本价为每件 x 元,则 x 满足的方程是_. *6. (2008 年广东茂名)依法纳税是每个公民应尽的义务,新的中华人民共和国个人所得税法规定,从 2008 年 3 月 1 日起,公民全月工薪不超过
14、 2000 元的部分不必纳税,超过 2000 元的部分应缴纳个人所得税,此项税款按下表分段累进计算. 黄先生 4 月份缴纳个人所得税税金 55 元,那么黄先生该月的工薪是_元. 全月应纳税所得税额 税率不超过 500 元的部分 5%超过 500 元至 2000 元的部分 10% 六安市求学教育三. 列方程解应用题1. (2006 年吉林)据某统计数据显示,在我国的 664 座城市中,按水资源情况可分为三类:暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市. 其中,暂不缺水城市数比严重缺水城市数的 4 倍少 50 座,一般缺水城市数是严重缺水城市 数的 2 倍. 求严重缺水城市有多少座?*2. 甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务,规定两人各加工这批服装的一半,已知乙的工作效率相当于甲的,工作了 8 小时,甲完成了自己的任务,这时乙还差 24 件服装没有完成. 这批服装共有多少件?3. 如图所示,小红将一个正方形剪去一个宽为 4cm 的长条后,再从剩下的 长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为 5cm 的长条. 若两次剪下的长条面积正好相等,那么每一长条的面积为多少?原正方形的面积为多少?*4. 为