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1、回扣4数列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1 (q0)前n项和Snna1d(1)q1，Sn(2)q1，Snna12.活用定理与结论(1)等差、等比数列an的常用性质等差数列等比数列性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaqanam(nm)dSm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaqanamqnmSm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)(2)判断等差数列的常用方法定义法：an1and (常数) (nN*)an是等差数列.通项公式法：anpnq (p，q为常数
2、，nN*)an是等差数列.中项公式法：2an1anan2 (nN*)an是等差数列.前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列.(3)判断等比数列的三种常用方法定义法：q (q是不为0的常数，nN*)an是等比数列.通项公式法：ancqn (c，q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列.中项公式法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列.3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.(2)形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.(3)通项公式形如an(其中a，b1，b2，c为常数)用裂
3、项相消法求和.(4)通项公式形如an(1)nn或ana(1)n(其中a为常数，nN*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.1.已知数列的前n项和求an，易忽视n1的情形，直接用SnSn1表示.事实上，当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1.2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是.3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整
4、体代换进行基本运算.如等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求时，无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q1和q1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如，而是.8.通项中含有(1)n的数列求和时，要把结果写成分n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4(nN*)，则an等于()A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2答案
5、A解析an1Sn1Sn2a n14(2an4)an12an，再令n1，S12a14a14，数列an是以4为首项，2为公比的等比数列，an42n12n1，故选A.2.已知数列an满足an2an1an，且a12，a23，Sn为数列an的前n项和，则S2 016的值为()A.0 B.2 C.5 D.6答案A解析由题意得，a3a2a11，a4a3a22，a5a4a33，a6a5a41，a7a6a52，数列an是周期为6的周期数列，而2 0166336，S2 016336S60，故选A.3.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a514a6，则S10等于()A.35 B.70 C.28 D.14答案B解析
6、a514a6a5a614，S1070.故选B.4.已知等差数列an的前n项和为Sn，a24，S10110，则使取得最小值时n的值为()A.7 B.7或8 C. D.8答案D解析a24，S10110a1d4，10a145d110a12，d2，因此，又nN*，所以当n8时，取得最小值.5.等比数列an中，a3a564，则a4等于()A.8 B.8 C.8或8 D.16答案C解析由等比数列的性质知，a3a5a，所以a64，所以a48或a48.6.已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a3，且a2a4，则等于()A.4n1 B.4n1 C.2n1 D.2n1答案D解析设等比数列an的公比为q，则解得2
7、n1.故选D.7.设函数f(x)xaax的导函数f(x)2x2，则数列的前9项和是()A. B. C. D.答案C解析由题意得函数f(x)xaax的导函数f(x)2x2，即axa1a2x2，所以a2，即f(x)x22x，()，所以Sn(1)(1).则S9(1)，故选C.8.已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，Sn是数列an前n项的和，则(nN*)的最小值为()A.4 B.3 C.22 D.答案A解析据题意由a1，a3，a13成等比数列可得(12d)2112d，解得d2，故an2n1，Snn2，因此(n1)2，据基本不等式知(n1)22 24，当n2时取得最小值
8、4.9.等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于_.答案4解析由等比数列的性质有a1a8a2a7a3a6a4a5，所以T8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a4a5)4lg(10)44.10.已知数列an满足an1an2n且a12，则数列an的通项公式an_.答案n2n2解析an1an2n，an1an2n，采用累加法可得an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，2(n1)2(n2)22n2n2.11.若数列an满足an3an12(n2，nN*)，a11，则数列an的通项公式为an_.答案23n11解析设an3(an1)，化简得an3an12
9、，an3an12，1，an13(an11)，a11，a112，数列an1是以2为首项，3为公比的等比数列，an123n1，an23n11.12.数列1，2，3，4，5，的前n项之和等于_.答案1()n解析由数列各项可知通项公式为ann，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n项和为Sn1()n.13.设数列an的前n项和为Sn，a11，an1Sn1(nN*，且1)，且a1，2a2，a33为等差数列bn的前三项.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和.解(1)方法一an1Sn1(nN*)，anSn11(n2).an1anan，即an1(1)an (n2)，1
10、0，又a11，a2S111，数列an为以1为首项，以1为公比的等比数列，a3(1)2，4(1)1(1)23，整理得2210，得1.an2n1，bn13(n1)3n2.方法二a11，an1Sn1(nN*)，a2S111，a3S21(11)1221.4(1)12213，整理得2210，得1.an1Sn1 (nN*)，anSn11(n2)，an1anan，即an12an (n2)，又a11，a22，数列an为以1为首项，以2为公比的等比数列，an2n1，bn13(n1)3n2. (2)设数列anbn的前n项和为Tn，anbn(3n2)2n1，Tn11421722(3n2)2n1.2Tn1214227
11、23(3n5)2n1(3n2)2n.得Tn1132132232n1(3n2)2n13(3n2)2n.整理得Tn(3n5)2n5.14.已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn (nN*)，(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，若Tn对于任意nN*恒成立，求实数的取值范围.(1)证明Sn (nN*)，Sn1 (n2).得：an (n2)，整理得：(anan1)(anan1)(anan1)，数列an的各项均为正数，anan10，anan11(n2).当n1时，a11，数列an是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)得Sn，bn2()，Tn2(1)()()()2(1)，Tn，Tn单调递增，TnT11，1.故的取值范围为(，1.- 9 -
