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1、第十三章 计数原理考点1 排列与组合1.(2017新课标,6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种1.D 4项工作分成3组,可得: =6,安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,可得:6 =36种故选D2.(2016全国,5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18 C.12 D.92.B 从E点到F点的最短路径有6种,从F点到G点的最短路径有3种,所以从
2、E点到G点的最短路径为6318种,故选B.3.(2016全国,12)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数.若m4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个 B.16个 C.14个 D.12个3.C 第一位为0,最后一位为1,中间3个0,3个1,三个1在一起时为,;只有2个1相邻时,共A种,其中;,不符合题意,三个1都不在一起时有C种,共28414.4.(2016四川,4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24 B.48 C.60 D.724.D 由题可知,五位数要
3、为奇数,则个位数只能是1,3,5;分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C,再将剩下的4个数字排列得到A,则满足条件的五位数有CA72.选D.5.(2016北京,8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多5.B 取两个球往盒子中放有4种情况:红红,则乙盒中红球数加1个;黑黑,则丙盒
4、中黑球数加1个;红黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1个;黑红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1个;因为红球和黑球个数一样,所以和的情况一样多.和的情况随机,和对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响,和出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.6.(2015四川,6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个 B.120个 C.96个 D.72个6.B由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3A72个;若万位是4,则有2A个48个,故40 000大的偶数共有72
5、48120个.选B.7.(2014大纲全国,5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种7.C从中选出2名男医生的选法有C15种,从中选出1名女医生的选法有C5种,所以不同的选法共有15575种,故选C.8.(2014辽宁,6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.248.D3人中每两人之间恰有一个空座位,有A212种坐法,3人中某两人之间有两个空座位,有AA12种坐法,所以共有121224种坐法.9.(2014四川,6)六个人从左
6、至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种 B.216种 C.240种 D.288种9.B当最左端排甲时,不同的排法共有A种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四个位置之一,则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有ACA924216种.10.(2014重庆,9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.16810.B依题意,先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144,其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24,因此满足题意
7、的排法种数为14424120,选B.11.(2014安徽,8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A.24对 B.30对 C.48对 D.60对11.C法一直接法:如图,在上底面中选B1D1,四个侧面中的面对角线都与它成60,共8对,同样A1C1对应的也有8对,下底面也有16对,这共有32对;左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.法二间接法:正方体的12条面对角线中,任意两条垂直、平行或成角为60,所以成角为60的共有C12648对.12.(2014福建,10)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出
8、若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5 B.(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C.(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5) D.(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)12.A分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,5个,则有(1aa2a3a4a5
9、)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1b5)种不同取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球中任取0个,1个,5个,有(1c)5种不同的取法,所以所求的取法种数为(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5,故选A.13.(2014广东,8)设集合A(x1,x2,x3,x4,x5)|xi1,0,1,i1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A.60 B.90 C.120 D.13013.D易知|x1|x2|x3|x4|x5|1或2或3,下面分三种情况讨论.其一:|x1|x2|x3|x4|x
10、5|1,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取一个让其等于1或1,其余等于0,于是有CC10种情况;其二:|x1|x2|x3|x4|x5|2,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取两个让其都等于1或都等于1或一个等于1、另一个等于1,其余等于0,于是有2CCC40种情况;其三:|x1|x2|x3|x4|x5|3,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取三个让其都等于1或都等于1或两个等于1、另一个等于1或两个等于1、另一个等于1,其余等于0,于是有2CCCCC80种情况.由于104080130,故答案为D.14.(2017天津,14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重
11、复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个(用数字作答) 14.1 080 根据题意,分2种情况讨论:、四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,有A54=120种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数;、四位数中只有一个偶数数字,在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、6、8中选出1个,有C53C41=40种取法,将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序,则有4024=960个只有一个偶数数字的四位数;则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个;故答案为:108015.(2017浙江,16)从6男2女共8名学生
12、中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有_种不同的选法(用数字作答) 15. 660 第一类,先选1女3男,有C63C21=40种,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,故有4012=480种,第二类,先选2女2男,有C62C22=15种,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,故有1512=180种,根据分类计数原理共有480+180=660种,故答案为:66016.(2015广东,12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答).16.1 560依题两两彼此给对方写一条毕业
13、留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A40391 560条毕业留言.17.(2014北京,13)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有_种.17.36将A、B捆绑在一起,有A种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有A种摆法,共有AA48种摆法,而A、B、C 3件在一起,且A、B相邻,A、C相邻有CAB、BAC两种情况,将这3件与剩下2件全排列,有2A12种摆法,故A、B相邻,A、C不相邻的摆法有481236种.18.(2014浙江,14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖
14、情况有_种(用数字作答).18.60分情况:一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人,种数为CCA36;另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为A24,则获奖情况总共有362460(种).考点2 二项式定理及其应用1.(2017新课标,6)(1+ )(1+x)6展开式中x2的系数为() A.15 B.20 C.30 D.351.C (2xy)5的展开式的通项公式:Tr+1= (2x)5r(y)r=25r(1)r x5ryr 令5r=2,r=3,解得r=3令5r=3,r=2,解得r=2(x+y)(2xy)5的展开式中的x3y3系数= +23 =40故选C2.(2017新课标,4)(x+y)(2xy)5的展开式中的x3y3系数为 ( ) A.80 B.40 C.40 D.802.C (1+ )(1+x)6展开式中:若(1+ )=(1+x2)提供常数项1,则(1+x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数