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1、第5节 圆周运动 【知识讲解】1、形形色色的圆周运动质点运动的轨迹是圆周的运动，我们称之为圆周运动。圆周运动是一种常见的运动。日常生活中，电风扇工作时叶片上的点、时钟的分针和时针上的点、田径场弯道上赛跑的运动员等，都在做圆周运动。科学研究中，大到地球绕太阳的运动。小到电子绕原子核的运动。小到电子绕原子核的运动，也常用圆周运动的规律来讨论。除此之外，你还能举出一些物体做圆周运动的实例吗？图512、如何描述圆周运动的快慢问题：如图51所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，行驶时，这三个轮子上各点在做圆周运动。那么，哪些点运动得更快些？也许它们运动得一样快？那么，我们如何来描述
2、圆周运动的快慢呢？描述圆周运动的快慢，主要可通过线速度、角速度等物理量。（1）线速度设物体沿圆弧运动，时间t内经过的圆弧长为l，这样，比值反映这一段时间内物体运动的平均快慢，记做（注意，指平均速率）。为描述物体经过某一位置（或某一时刻）运动的快慢，我们可从这时刻起，取一段很小很小的时间间隔t（即t0），物体在这段时间内通过的弧长为l，则比值就反映了物体在这一瞬间运动的快慢，我们称为线速度，记做（注意，这里的v指瞬时速率）。其实，当t0时，瞬时速率定义式中的l与瞬时速度定义式中的x（前者指路程，后者指位移）大小已经没有差别，具体到圆周运动这一问题中，就是弧长与弦长已经没有差别，所以实际上就是瞬时
3、速度的大小。为区别于角速度，我们将这个瞬时速度命名为线速度。MNABOrl图52当然，之所以用线速度而不用瞬时速率来描述圆周运动，还有一个原因就是描述运动方向的需要。线速度是矢量，线速度的方向沿圆周的切线方向。（2）角速度如图52所示，物体在t时间内由A运动到B，半径OA在这段时间内转过的角为。它与所用时间t的比值，描述了物体绕圆心转动的快慢，这个比值称为角速度，用符号表示，角速度的单位：在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s。（3）转速与周期描述物体做圆周运动的快慢，除了用线速度、角速度外，还可以用转速与周期。转速：如果在一定时间内物体转过的圈数越多，我们就说物体转动得越快
4、，所以技术上常用转速来描述圆周运动的快慢。转速是指物体单位时间内所转过的圈数，常用符号n表示。转速等于物体转过的圈数与所用时间的比值，单位为转每秒（r/s）或转每分（r/min）。r/s和r/min都不是国际单位制中的单位，运算时要把它们换算成弧度每秒。如：1r/s2rad/s，1r/minrad/srad/s。周期：做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫做周期，用T表示。显然，周期越短，表明物体转动得越快，反之，周期越长，表明物体转动得越慢。3、匀速圆周运动的特点物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。做匀速圆周运动的物体，在单位时间里所通过的弧长相等，转过
5、的角度也相等，因此也可以说，匀速圆周运动是角速度不变的运动。做匀速圆周运动的物体，在单位时间内所转过的圈数相等，每转一周所用的时间也相等，因此，匀速圆周运动的转速与周期也保持不变。但是，由于线速度是矢量，虽然其大小不变，但其方向在不断变化，因此，线速度是个变量，不变的只是速率，匀速圆周运动中的“匀速”两字应理解为“匀速率”，所以匀速圆周运动是变速运动，而不是匀速运动。4、线速度、角速度与转速、周期的关系（1）线速度与角速度的关系：vr（2）转速与周期的关系：由于转速是指物体单位时间所转过的圈数，做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫做周期，所以若单位时间取作s，则转速与周期间存在倒数关系，
6、即（3）线速度、角速度与周期的关系：对匀速圆周运动而言，每转过一圈所用的时间即为周期，而每转过一周，转过的弧长l2r，转过的角度即周角，大小等于2弧度，所以v2rn，2n【例题讲解】【例1】静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法中正确的是（ ）A它们的运动周期都相同 B它们的线速度都相同图53C它们的线速度大小都相同 D它们的角速度可能不同【解析】如图53所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的运动周期及角速度都是相同的。物体随地球一起转动，其运动的平面是物体所在的纬度线平面，其圆心分布在自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，只有同一纬度处的转动半径相等，根据v=r知，线速度
7、的大小才相同，但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同。正确选项为A。【例2】如图54所示，两个小球固定在一根长为l的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动。当小球A的速度为vA时，小球B的速度为vB，则轴心O到小球A的距离是（ ）ABvAvBO图54A BC D【解析】设轴心O到小球A的距离为x，因两小球固定在同一转动杆的两端，故两小球做圆周运动的角速度相同，半径分别为x、lx。根据有，解得正确选项为B。图55ABCrArBrC【例3】如图55所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为rArC2rB，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比vAvBvC_，
8、角速度之比ABC_。【解析】A、B两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等。B、C两轮固定在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等。但是由于两轮的半径不等，由vr可知，B、C两轮边缘上各点的线速度大小不等，且C轮边缘上各点的线速度是B轮边缘上各点线速度的两倍，故有vAvBvC112。因A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由vr可知，它们的角速度与半径成反比，即ABrBrA12。【例4】一台走时准确的时钟，其秒针、分针、时针的长度之比为l1l2l3321，试求：（1）秒针、分针、时针转动的角速度之比；（2）秒针、分针、时针针尖的线速度之比。【解析】走时准确的时钟
9、，其秒针、分针、时针匀速转动的周期分别为T160s、T260min、T312h（1）由可得秒针、分针、时针转动的角速度之比图56太阳地球月球M1M2M1E1E2123720121。（2）因vr，故秒针、分针、时针针尖的线速度之比v1v2v3l11l22l33(3720)(212)(11)2160241。【例5】若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一个平面内，且均为正圆，又知这两种转动反向，如图56所示，月相变化的周期为29.5天。（图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）求：月球绕地球一周所用的时间T（因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球的自转周期）。（提示：可借鉴恒星日
10、、太阳日的解释方法）hr图57hr图58vRzsxyOr【解析】地球绕太阳公转每天转过的角速度弧度/天（取回归年为365天）。从上次满月到下次满月地球公转了角，用了29.5天。所以t29.5弧度月球在两次满月之间转过（2）用了29.5天，所以月球的角速度弧度/天根据周期公式可得月球公转T天天27.3天。【例6】雨伞边缘半径为r，且高出水平地面的距离为h，如图57所示，若雨伞以角速度匀速旋转，使雨滴自雨伞边缘水平飞出后在地面上形成一个大圆圈，则此圆圈的半径R为多大？【解析】作出雨滴飞出后的三维示意图，如图58所示。雨滴飞出的速度大小为vr在竖直方向上有hgt2在水平方向上有svt又由几何关系可得
11、R联立以上各式可解得雨滴在地面上形成的大圆圈的半径R。vr图59R【点悟】因为雨滴是由于雨伞的旋转而飞出的，所以雨滴沿圆周切线方向飞出而做平抛运动，但常有同学误认为雨滴沿雨伞的半径方向飞出，如图59所示，由此得到错误的结果Rr（1）。【反馈练习】1、对于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）A、是线速度不变的运动 B、是角速度不变的运动C、是周期不变的运动D、是转速不变的运动2、质点做匀速圆周运动，则（ ）A、 在任何相等的时间里，质点的位移都相等。B、 在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等。C、在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等。D、在任何相等的时间里，质点运动的平均
12、速度都相等3、两小球固定在一根长为L的杆的两端，并且绕杆上的O点做圆周运动，当小球A的速度为V1时，小球B的速度为V2，问转轴O到小球B的距离是多少？4、一台准确走动的钟表上的时针、分针和秒针的角速度之比 如果三针长度分别为，且，那么三针尖端的线速率之比 。abcdrr2r4r5、如图所示为皮带传动装置，右轮半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮边缘上，若在转动过程中，皮带不打滑。则（ ）A、a点与b点的线速度大小相等 B、a点与b点的角速度大小相等C、a点与c点的线速度大小相等 D、a点与d点的向心加速度大小相等AO6、在同一水平高度上有A、B两物体它们的质量分别为m，M，A物体如下图所示的位置开始以角速度绕O点在竖直平面内顺时针做匀速圆周运动，其轨道半径为R，同时B物体在恒力F的作用下，由静止开始在光滑水平面上沿x轴正方向做直线运动，如图所示，试问：（1） A物体运动到什么位置时，它的速度可能与B物体相同？（2） 要使两物体速度相同，作用在B物体上的力F应为多大？（3） 当物体速度相同是，B物体的最小位移是多少？
