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1、第 1 页 共 31 页 解析几何中若干经典结论及其应用 结论部分 一 定点类结论 结论 1设 AB 是圆锥曲线C 的弦 点 A 关于 x 轴的对称点A 点A B 不重合 且 AB 过点 P t 0 1 若曲线C 为椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 则直线AB 过定点 Q 2 0 a t 2 若曲线C 为双曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 则直线AB 过定点 Q 2 0 a t 3 若曲线C 为抛物线 2 2 0 ypx p 则直线AB 过定点 Q 0 t 结论 2 过圆锥曲线上的一个定点 00 M xy 任作两条互相垂直的弦MP MQ 若曲线为非 等轴双曲线 则
2、直线PQ 必过定点 若曲线为等轴双曲线 则直线PQ 斜率为定值 1 若 M 在椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 上 则 PQ 过定点 2222 00 2222 abab xy abab 2 若 M 在双曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 上 当ab时 PQ 过定点 2222 00 2222 abab xy abab 当ab时 PQ 的斜率为 0 0 y x 3 若 M 在抛物线 2 2 0 ypx p上 则 PQ 过定点 00 2 xpy 结论 3 A B 是抛物线 2 2 0 ypx p上异于顶点的两动点 点 00 M xy 为抛物线上 一定点 过M 作两条弦 M
3、A MB 1 若 MAMB kkm 非零常数 则直线AB 过定点 00 2p xy m 2 若 MAMB kkn 非零常数 则直线AB 过定点 0 00 22yp xy nn 3 若直线 MA MB 的倾斜角分别为 且 0 为定值 当 变化时 直线AB 过定点 0 00 22 2 tantan yp xpy 一般结论 A B 是圆锥曲线上两动点 点M为其上一定点 MA MB 的倾斜角分 别为 则以下条件均可得出直线AB 过定点 MAMB kkm 非零常数 MAMB kkn 非零常数 0 为定值 MA MB uuu r uuu r 为常数 结论 4 已知点 P 为圆锥曲线上一点 若曲线在点P 处
4、的切线交准线于点A 则以线段PA 为 直径的圆恒过与该准线对应的焦点 第 2 页 共 31 页 结论 5 已知曲线 2 2 22 1 y x ab 的左顶点为A 过右焦点F 的直线交曲线于点B C 直线 AB AC 分别交右准线于点M N 则以 MN 为直径的圆必过F 注 在抛物线中 将抛物线的一个顶点看作在无穷远处 有类似结论成立 结论 6 已知 AB 是过圆锥曲线的焦点F 的弦 E 是与焦点F 相对应的准线l 和圆锥曲线对称 轴的交点 点C 在 l 上 则直线AC 过线段 EF 的中点的充要条件是BC EF 推论 1 若 F 是圆锥曲线的焦点 E 是与 F 相对应的准线l 和圆锥曲线对称轴
5、的交点 AB 是 过焦点 F 的弦 FE BC N 是线段 EF 的中点 则BC 与 AN 的交点 C 在准线 l 上 推论 2 若 F 是圆锥曲线的焦点 E 是与 F 相对应的准线l 和圆锥曲线对称轴的交点 点B 在圆锥曲线上 点C 在准线 l 上 FE BC N 是线段 EF 的中点 则直线BF 与 CN 的交点 A 恰在圆锥曲线上 结论 7 已知椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 过椭圆内x 轴上一点 m 0 任作两条相互垂直的 弦 AB CD 设 M N 分别为 AB CD 的中点 则直线MN 必过定点 2 22 0 a m ab 二 定值类结论 2 1 与 2 2 b a
6、 有关的结论 结论 8 1 已知 M N 是椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 上关于原点对称的两动点 P 是椭圆上 异于 M N 的一点 若直线PM PN 均存在斜率 则 2 2 PMPN b kk a 2 已知 M N 是双曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 上关于原点对称的两动点 P 是 双曲线上异于M N 的一点 若直线PM PN 均存在斜率 则 2 2 PMPN b kk a 结论 9 1 已知 M N 是椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 上的两动点 P 是线段 MN 的中点 O 为坐标原点 若直线OP MN 均存在斜率 则 2 2 OPMN
7、b kk a 2 已知 M N 是双曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 上的两动点 P是线段 MN 的中 点 O 为坐标原点 若直线OP MN 均存在斜率 则 2 2 OPMN b kk a 结论 10 已知 1122 M xyN xy 是椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 上的两动点 OMN 的面 积为 S 点 M N 均不在坐标轴上 O 为坐标原点 则以下五个命题等价 第 3 页 共 31 页 2 2 OMON b kk a 222 12 xxa 222 12 yyb 1 2 Sab 2222 OMONab 若 P 为椭圆上一点 且OPOMON uuu ruu u
8、u ruuu r 则 22 1 结论 11已知圆锥曲线 22 0f xyAxCyDxEyF 上一定点P x0 y0 过 P 作倾斜角互补的两条直线PM PN 分别与交于异于P 的两点 M N 则直线 MN 的倾斜角为定值 注 若曲线为椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 则 2 2 OPMN b kk a 即 2 0 2 0 MN b x k a y 若曲线为双曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 则 2 2 OPMN b kk a 即 2 0 2 0 MN b x k a y 若曲线为抛物线 2 2 0 ypx p 则 0 MN p k y 该命题的逆命题也成立 证明
9、当点P 在曲线 22 0f xyAxCyDxEyF 的对称轴上时 直线 MN 的倾斜角为0 或 90 结论显然成立 当点 P 不在曲线的对称轴上时 直线PM PN MN 的斜率均存在且都不为零 此时条件可设为 PMPN kkkk 设 1122 M xyN xy 则 001122 0 0 0f xyf xyf xy 由 1100 0f xyf xy 两边同时除以 10 x x 得 1010 0C yyE kDA xx 同理 2020 0C yyEkDA xx 得 12120 220Ck yyA xxDAx 得 12120 220A xxCk yyEkCky 又 10102020 yyk xxyy
10、k xx 所以 1212012120 1 2 2xxyyxyyk xxy k 代入 得 120120 24 24 AA CkyyDAxCkxxECy kk 两式相除 得 012 120 2 2 MN DAxyy k xxECy 定值 所以当 2 2 22 10 y x f xy ab 时 2 0 2 0 MN b x k a y 第 4 页 共 31 页 当 2 2 22 10 y x f xy ab 时 2 0 2 0 MN b x k a y 当 2 20f xyypx 时 0 MN p k y 2 2 与 a2有关的结论 结论 12 已知曲线E 2 2 22 1 00 y x ab ab
11、 的左右顶点为 0 0 AaB a 点 Q m n 0 mnma 不在曲线 E 上 QA QB 分别交 E 于 C D 直线 CD 交 x 轴于 点 P 则有 2 OP OQa uu u ruuu r 注 曲线 E 可以表示焦点在x 轴或 y 轴上的椭圆 也可表示双曲线 结论一致 结论 13 1 已知 A B 为椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 上两动点且关于x 轴对称 P 为 x 轴上 一定点 连结PA 交椭圆于点M 则 BM 恒过定点Q 且有 2 OP OQa u uu ruuu r 2 已知 A B 为双曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 上两动点且关于x 轴
12、对称 P 为 x 轴上一定点 连结 PA 交双曲线于点M 则 BM 恒过定点Q 且有 2 OP OQa u uu ruu u r 3 已知 A B 为抛物线 2 2 0 ypx p上两动点且关于x 轴对称 P a 0 为 一定点 连结PA 交抛物线于点M 则 BM 恒过定点 Q 且有 2 OP OQa u uu ruuu r 结论 14 1 设 A B 是椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 长轴上分别位于椭圆内 异于原点 外 部的两点 若过 A 点引直线 直线不与坐标轴垂直 与椭圆相交于P Q 两点 且PBAQBA 则点 A B 的横坐标满足 2 AB xxa 2 设 A B 是双
13、曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 实轴上分别位于双曲线一支内 含 焦点的区域 外部的两点 若过A 点引直线 直线不与坐标轴垂直 与双曲 线的这一支相交于P Q 两点 且PBAQBA 则点 A B 的横坐标满足 2 AB xx a 2 3 焦半径公式 结论 15 1 已知椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 中 弦 AB 过左焦点F 且倾斜角为 点 A 在 x 轴上方 则 2 cos b AF ac 2 cos b BF ac 2 已知双曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 中 弦 AB 过左焦点F 且倾斜角为 第 5 页 共 31 页 点 A 在 x 轴上
14、方 则 2 cos b AF ac 2 cos b BF ac 3 已知抛物线 2 2 0 ypx p中 弦 AB 过焦点 F 且倾斜角为 点 A 在 x 轴 上方 则 1cos p AF 1cos p BF 注 在 1 2 中易得 2 222 2 cos ab AB ac 若左焦点改为右焦点 其他条件不变 则 2 cos b AF ac 2 cos b BF ac 结论 16 1 设直线l 过椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 的一个焦点F 且与椭圆相交于P Q 两点 若 PFmFQn 则 2 112a mn b 112 mnep 2 设直线l 过双曲线 2 2 22 1 00
15、y x ab ab 的一个焦点F 且与双曲线的同一 支相交于P Q 两点 若 PFmFQn 则 2 112a mn b 3 设直线l 过抛物线 2 2 0 ypx p的焦点 F 且与抛物线相交于P Q 两点 若 PFmFQn 则 112 mnp 注 以上结论利用结论15 极易获证 结论 17 在圆锥曲线中 设过焦点F 且不垂直于坐标轴的弦为AB 其垂直平分线和焦点所 在坐标轴交于点R 则 2 FRe AB 2 4 与垂直有关的结论 结论 18 1 已知 O 为原点 P Q 为椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 上两点且 OP OQ 则 2222 1111 OPOQab O 到 PQ
16、 的距离为 22 ab ab 2 已知 O 为原点 P Q 为双曲线 2 2 22 1 0 y x ab ab 上两点且OP OQ 则 2222 1111 OPOQab O 到 PQ 的距离为 22 ab ba 结论 19已知 O 为原点 P Q 为抛物线 2 2 0 ypx p上两点且OP OQ 则 2 4 OPQSp 结论 20 1 若 AB CD 是过椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 焦点的弦 且AB CD 则 2 112 2 e ABCDep 2 若 AB CD 是过双曲线 2 2 22 1 00 y x ab ab 焦点的弦 且AB CD 第 6 页 共 31 页 则 2 2 11 2 e ABCDep 3 若 AB CD 是过抛物线 2 2 0 ypx p焦点的弦 且AB CD 则 111 2ABCDp 注 其中 e 为圆锥曲线的离心率 p 为焦点到相应准线的距离 三 定轨类结论 结论 21已知 1122 M xyN xy 是椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 上的两动点 O 为坐标原 点 则 2 2 OMON b kk a 与以下命题 等价 线段
