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1、第 1 页 共 9 页 三次型函数切线问题的求解策略 三次函数频频出现在高考试卷中 成为高考试卷的一大亮点 其中三次函数 的切线问题是高频考点 通常结合三次函数的零点问题考查 三次型函数最值问 题是竞赛和自主招生的难点 有一定的思考力 三次型函数的切线问题 一 一 三次函数的概念 形如 32 0yaxbxcxd a的函数 称之为三次函数 二 三次函数的图象特征和零点分布 对于三次函数 32 0f xaxbxcxd a 其导函数为二次函数 2 320fxaxbxc a fx的判别式 2 43bac 现以0a为例 1 若03 2 acb 则 xf在 上为增函数 xf在R上无极值 2 若03 2 a
2、cb 则 xf在 1 x和 2 x上为增函数 xf在 21 xx上为 减函数 其中 a acbb x a acbb x 3 3 3 3 2 2 2 1 xf在R上有两个极值 且 xf在 1 xx处取得极大值 在 2 xx处取得极小值 综上可得 当三次函数 f x存在极值时 其图象 零点 极值的关系 性质状态 三次函数图象 说 明 0a0a 三次项系数a 对图象的影响 当0a时 在x 右向上伸展 x 左向下伸展 当 0a 时 在x 右向下伸展 x 左向上伸展 零点 个数 三个 03 2 acb 12 0f xf x 两个极值异号 图象与 x轴有三个交点 两个 03 2 acb 0 21xfxf
3、有一个极值为0 图象与 x轴有两个交点 一个 1 存在极值时 03 2 acb 0 21 xfxf 2 不存在极值时 函数 yfx是单调函数 图象与x轴有一个交点 x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O 第 2 页 共 9 页 问题一 过三次函数极值点的切线 例 1 2016 年天津卷 设函数 3 1 f xxaxb Rx 其中 a bR若 xf存在极 值点 0 x 且 01 xfxf 其中 01 xx 求证 10 23xx 策略一 验证 10 32xx 即验证 10 32fxfx 322 00000001 32 22 3 1 32 1
4、21 fxxxxbxxbf xf x 根据函数 f x的单调性直接推出结论 本策略不具有一般性 能否寻求解决这类问题的一般性思路呢 策略二 直接求零点 33 010011 1 1 f xf xxaxbxaxb 33 0101 1 1 xxa xx 22 010011 1 1 1 1 xxxxxxa 222 0100110 1 1 1 1 3 1 xxxxxxx 22 010011 2 1 1 1 1 xxxxxx 2 0101 2 1 1 xxxx 2 0101 23 0 xxxx 又 01 xx 故 10 23xx 我们可以关注到策略二可以推广到一般情形 利用三次函数在极值点处的切线列出等
5、式 式的一般形式含有因式 2 0 xx 从而迅速求出另外一个交点横坐标 其一般形式 如下 若 0 x为三次函数 32 f xaxbxcxd的极值点 过 00 xf x的 直线 yk与三次函数 f x交于点 11 xfx 则研究函数 g xf xk的零点问题 可以利用 2 01 g xa xxxx 例 2 2012 年江苏卷 若函数 yf x在 0 xx处取得极大值或极小值 则称 0 x为函数 yf x的极值点 已知 a b是实数 1和1是函数 32 f xxaxbx的两个极值点 设 h xff xc 其中2 2c 求函数 yh x的零点个数 思路分析 本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问
6、题 可先从 形 入手 直接将 c的取值分为2c和2c两类 我们以2c为例 直线2y为过极值点1x的切线 则 32 232 1 2 yf ttttt 迅速求得另一交点横坐标为2 为零点的讨论 带来极大的方便 解 易得 3ab0 令 f xt 则 h xf tc 先讨论关于x 的方程 fxd根的情况 2 2d 当 2d时 由 2 可知 2f x的两个不同的根为1 和一 2 注意到 f x是奇函数 2f x的 两 个 不 同 的 根 为 一 和2 当2d 1 2 20fd fdd 于是 f x是单调增函数 从而 2 2fx f 此时 f xd在2 无实根 当1 2x 时 0f x 于是 f x是单调
7、增函数 又 1 0fd y f xd的图象不间断 f xd在 1 2 内有唯一实根 同理 f xd在 一 2 一 1 内有唯一实根 当1 1x 时 0f x 1 0fd y f xd的图象不间断 f xd在 一1 1 内有唯一实根 因此 当 2d时 f xd有两个不同的根 12 xx 满足 12 1 2xx 当2d 时 f xd有三个不同的根 315 xxx 满足2 3 4 5 i x i 现考虑函数 yh x的零点 i 当 2c时 f tc有两个根 12 tt 满足 12 2tt1 而 1 f xt有三个不同的根 2 f xt有两个不同的根 故 yh x有 5 个零点 当2c 时 f tc有
8、三个不同的根 345 ttt 满足2 3 4 5 i t i 而 3 4 5 i f xti有三个不同的根 故 yh x有 9 个零点 综上所述 当 2c时 函数 yh x有 5 个零点 当2c 0 得 h x 与 h x 的变化情况如下 x a 2 a 2 a 2 a 6 a 6 a 6 h x 0 0 h x 函数 h x 的单调递增区间为 a 2 和 a 6 单调递减区间为 a 2 a 6 当 1 a 2 即 0 a 2 时 函数 h x 在区间 1 上单调递增 h x 在区间 1 上的最大值为h 1 a a 2 4 第 5 页 共 9 页 当 a 2 1 a 6 即2 a0 所以 h
9、x 在区间 1 上的最大值为h a 2 1 综上所述 当a 0 2 时 最大值为h 1 a a2 4 当 a 2 时 最大值为 h a 2 1 问题三 过三次函数图象外一点的切线 设点 00 yxP为三次函数 0 23 adcxbxaxxf图象外则过点P一定有 直线与 xfy图象相切 令 00 g xyf xfxxx 则 1 若 3 0 a b x则过点P恰有一条切线 2 若 3 0 a b x且 3 0 a b gxg0 则过点P恰有一条切线 3 若 3 0 a b x且 3 0 a b gxg 0 则过点P有两条不同的切线 4 若 3 0 a b x且 3 0 a b gxg0 则过点P有
10、三条不同的切线 证 明 设 过 点P作 直 线 与 xfy图 象 相 切 于 点 11 yxQ则 切 线 方 程 为 23 11 2 11 xxcbxaxyy把点 00 yxP代入得 02 3 2 0010 2 10 3 1 cxdyxbxxaxbax 设 2 3 2 000 2 0 3 cxdyxbxxaxbaxxg 2 00 62 3 2 g xaxbaxxbx 3 448 3 4 2 00 2 0 baxabxaxb 令 0 g x则 3 0 a b xxx 0 xg恰有一个实根的充要条件是曲线 xgy与x轴只有一个交点 即 xgy在R上 为 单 调 函 数 或 两 极 值 同 号 所
11、以 0 3 b x a 或 3 0 a b x且 3 0 a b gxg0时 过点P恰有一条切线 0 xg有两个不同实根的充要条件是曲线 xgy与x轴有两个公共点且其中之 一为切点 所以 3 0 a b x且 3 0 a b gxg 0 时 过点P有两条不同的切线 0 xg有三个不同实根的充要条件是曲线 xgy与x轴有三个公共点 即 xgy有一个极大值 一个极小值 且两极值异号 所以 3 0 a b x且 3 0 a b gxg0 时 过点 P有三条不同的切线 例 4 2014 北京卷 已知函数f x 2x3 3x 1 求 f x 在区间 2 1 上的最大值 2 若过点 P 1 t 存在 3
12、条直线与曲线y f x 相切 求t 的取值范围 3 问过点A 1 2 B 2 10 C 0 2 分别存在几条直线与曲线y f x 相切 只需 第 6 页 共 9 页 写出结论 解 1 略 2 设过点P 1 t 的直线与曲线y f x 相切于点 x0 y0 则 y0 2x30 3x0 且切线斜率 为 k 6x2 0 3 所以切线方程为y y0 6x20 3 x x0 因此 t y0 6x20 3 1 x0 整理得 4x30 6x20 t 3 0 设 g x 4x3 6x2 t 3 则 过点 P 1 t 存在 3 条直线与曲线 y f x 相切 等价于 g x 有 3 个不同零点 g x 12x2
13、 12x 12x x 1 当 x 变化时 g x 与 g x 的变化情况如下 x 0 0 0 1 1 1 g x 0 0 g x t 3t 1 所以 g 0 t 3 是 g x 的极大值 g 1 t 1 是 g x 的极小值 结合图象知 当g x 有 3 个不同零点时 有 g 0 t 3 0 g 1 t 1 0 解得 3 t 1 故当过点 P 1 t 存在 3条直线与曲线y f x 相切时 t 的取值范围是 3 1 3 过点 A 1 2 存在 3 条直线与曲线y f x 相切 过点 B 2 10 存在 2 条直线与曲线y f x 相切 过点 C 0 2 存在 1条直线与曲线y f x 相切 练
14、 习1 已 知 函 数 3 23 Rbaxbxaxxf 在 点 1 1 f处 的 切 线 方 程 为 02y 若过点 2 2 mmM 可作曲线 xfy的三条切线 求实数m的取值范围 解析 设切点坐标为 00 xy 则 3 000 3yxx 2 00 33fxxQ 切线的斜率为 2 0 33 x则 32 0000 3332xxmxx 即 32 00 2660 xxm 又过 2 2 Mmm可作三条切线 故关于 0 x的方程 32 00 2660 xxm有三个不同 的实数解 即函数 32 266xxxm有三个不同的零点 令 2 6120 xxx 解得0 x或2x x 0 0 0 2 2 2 x 0
15、0 x Z 极大值6m 极小值2m Z 60 20 m m 解得62m 实数m的取值范围为 6 2 练习2 07 全国II理 22 已知函数 3 f xxx 设0a 若过点 ab 可作曲线 yf x的三条切线 证明 a bf a 解 1 f x的导数 2 31xxf 曲线 yf x在点 M tf t 处的切线方程为 yf tftxt 即 23 31 2ytxt 2 如果有一条切线过点 ab 则存在t 使 23 31 2btat 若过点 ab 可作 曲线 yf x的三条切线 则方程 32 230tatab有三个相异的实数根 记 32 23g ttatab 则 2 66g ttat6 0t ta
16、解得0t或ta 由 g t的单调性 当极大值0a b或极小值 0bf a时 方程 0g t最多有一个实数 t 0 0 0 a a a g x 0 0 g x Z 极大值 极小值 Z 第 7 页 共 9 页 根 当0ab时 解方程 0g t得 3 0 2 a tt 即方程 0g t只有两个相异的实 数根 当 0bf a时 解方程 0g t得 2 a tta 即方程 0g t只有两个相异 的实数根 综上所述 如果过 ab 可作曲线 yf x三条切线 即 0g t有三个相异的实数根 则 0 0 ab bf a 即 abf a 点评 1 本题是前一个问题的延伸 其以导数几何意义为载体 2 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布 采用极值 最值 控制法 3 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的 本质关系 以便进一步加深对函数极值 最值 的认识和对利用导数研究函数性质 小结 三次函数图象切线条数的研究 三次函数 0 23 adcxbxaxxf 设其切线的斜率为k k与系数的关系0a0a a bac k 3 3 2 一条一条 a bac k 3 3 2 两条零
