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1、1 11 高 三 数 学 2020 3 班级 高三 班 姓名 成绩 一 填空题 本大题共14 个小题 每小题5 分 共 70 分 请把答案写在答题卡相应位置上 1 设集合 2 1 Ax x 集合 02 Bxx 则AB 答案 1 2 2 设复数z满足 1i iz i为虚数单位 则z 答案 2 2 3 某高中高一 高二 高三年级的学生人数之比为8 8 9 现用分层 抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为50 的样本 则应从高 二年级抽取 名学生 答案 16 4 从长度为2 4 5 6 的四条线段中任选三条 能构成三角形的概率 为 答案 3 4 5 已知一个算法的流程图如右图 则输出的结果S的值
2、是 答案 11 6 在平面直角坐标系xOy 中 已知点F 为抛物线 2 4yx的焦点 则点F 到双曲线 22 1 916 xy 的渐近线的 距离为 答案 4 5 7 设实数x y 满足 0 0 3 25 x y xy xy 则4zxy的最大值是 答案 10 8 若 3 4 则 tan1 tan1 答案 2 9 设 n S 是数列 n a的前 n 项和 且 1 1a 11nnn aS S 则 2020 S 答案 1 2020 10 将一个底面半径为4 高为 2 的圆锥锻造成一个球体 设圆锥 球体的表面积分别为 12 S S 则 12 SS 答案 8 5 第 5 题 开始 是 输出S 否 n 1
3、S 0 n 3 S 2S n n n 1 结束 扬州市 2019 2020学年度下学期期初线上阶段性检测 二 2 11 11 已知函数 2 2 2 1 1 x xaxa x f x eax x 若函数 yf x 在 R 上有零点 则实数a 的取值范围 为 答案 1 e 12 已知直线 0lkxyk和 22 221Mxy 若直线 l 上存在点A M 上存在 B C两点 使得 3 BAC 则 k 的取值范围为 答案 12 0 5 13 已知存在两个正数x 和 y 满足 1 4 1 926 xa y ya x 则实数 a 的取值范围是 答案 1 25 解析 1111 26 4 9 1336132 3
4、625aaxyxyxy yxxyxy 当且仅当 1 36xy xy 时取 所以 2 26250aa 解得 125a 14 在ABC 中 3sin 2sin ABxx sin cos ACyy 若对任意的实数t ABt ACABAC 恒成立 则ABC 面积的最大值是 答案 6 2 解析 设 ADt AC 则 ABtACABADDBBC 所以 ACBC 因为7 sin7ABx 1AC 6BC 故 16 22 ABC SBCAC 解法二 因为对任意的实数t ABt ACABAC 恒成立 所以 2222 2 22ABt ACtAB ACABACAB AC 设 AB ACm 则 2 2210ttmm对任
5、意的实数t 恒成立 所以 2 2 4 21 0mm 所以1m 则1AB AC 即cos1ABA 所以 1 cos A AB 2 1 sin1A AB 故 2 2 11116 sin11 2222 ABC SABACAABAB AB 二 解答题 本大题共6 小题 共90 分 请在答题卡制定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 15 本小题满分14 分 已知函数 313 sincoscos2 244 f xxxx 1 求函数 f x 的单调递减区间 2 在ABC 中 角 A B C 的对边分别为a b c 且4a D 为边 AB 上一点 3CD 0f B 且 0 3 B 求BDC
6、 的正弦值 3 11 答案 1 3131 sincosc 3 os2sin2cos2 244444 3 f xxxxxx 131 sin 2cos2 222 3 4 xx 1 sin 2 264 3 x 4 分 由 3 222 262 kxk k Z 解得 5 36 kxk k Z 所以函数 f x 的单调递减区间为 5 36 kk k Z 7 分 2 由 1 和 0f B 得 13 sin 2 0 264 B 所以 3 sin 2 62 B 因为 0 3 B 2 662 B 所以 2 63 B 解得 4 B 11 分 在BCD 中 由正弦定理 sinsin CDBC BBDC 又3CD 4B
7、C 所以 4sin sin2 2 4 sin 33 BCB BDC CD 14 分 16 本小题满分14 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD 为矩形 平面PAB底面 ABCD 点 M 为 PD 的中点 90PCD 1 求证 PB 平面 AMC 2 求证 PB平面 ABCD 答案 1 如图 连结BD 交 AC 于 O 连结 MO 因为四边形ABCD 为矩形 ACBDO 所以 O 为 BD 的中点 又 M 是 PD 的中点 所以 在PBD 中 MOPB 又 PB平面 AMC MO 平面 AMC 所以 PB 平面 AMC 6 分 2 因为四边形ABCD 为矩形 所以BCCD 因为90PC
8、D 则 PCCD 又BCPCC BC PC平面 PBC 所以 CD平面 PBC 又 PB平面 PBC 所以 CDPB 在矩形 ABCD 中 ABCD 所以 PB AB 12 分 又平面 PAB底面 ABCD 平面PAB底面 ABCDAB PB平面 PAB 所以 PB平面 ABCD 14 分 17 本小题满分14 分 O P C D M B A P C D M B A 第 16 题 4 11 如图 四边形 ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面 示 意 图 现 计 划 在 该 地 块 上 划 分 四 个 完 全 相 同 的 直 角 三 角 形 即 Rt Rt RtABFBCGCDH
9、和 RtDAE 且在这四个直角三角形区域内 进行绿化 中间的小正方形修建成市民健身广场 为了方便市民到达健身 广场 拟修建4条路 AE BF CGDH 已知在直角三角形内进行绿化每 1 万平方米的费用为10a 元 中间小正方形修建广场每1 万平方米的费用 为 13a 元 修路每1 百米的费用为a 元 其中 a为正常数 设FAB 0 4 1 用表示该工程的总造价 S 2 当 cos为何值时 该工程的总造价最低 答案 1 在 RtABF 中 FAB 4AB 所以4sinBF 4cosAF 由于Rt Rt RtABFBCGCDH和 RtDAE 是四个完全相同的直角三角形 所以 4sinAEBFCGD
10、H 4 cossin EFFGGHHE 所以 Rt 11 4cos4sin8sincos 22 ABF SAFBF 222 4 cossin 16 1 2sincos EFGH SEF 正方形 所以 48sincos1016 12sincos 1344sinSaaa 16 20sincos 12sincos 13sin a 16 13sin6sincos a 0 4 7 分 2 由 1 记 13sin6sincosf 0 4 则 22232 cos6 cossin 12coscos612 cos cos 43 f 令 0f 因为0 4 所以 3 cos 4 或 2 cos 3 舍 记 0 3
11、cos 4 所以当 0 0 时 0f f单调递减 当 0 4 时 0f f单调递增 所以当 3 cos 4 时 f取得极小值 也是最小值 又0a 所以当 3 cos 4 时 16 Saf取得最小值 13 分 答 略 14 分 18 本小题满分16 分 如图 在平面直角坐标系xOy 中 椭圆 22 22 1 xy C ab a b 0 的左 右焦点分别为 1 0 Fc 2 0 Fc 已知 1 e 和 23 22 都在椭圆上 其中e为椭圆的离心率 第 17 题 AB CD E F G H 5 11 1 求椭圆 C 的标准方程 2 过 0 T tta 作斜率为 k 0 k的直线l 交椭圆C 于 M
12、N两点 M 点在 N 点的左侧 且 12F MF N 若1MFMT 求 t 的值 答案 1 因为 1 e 和 23 22 都在椭圆上 所以 2 222 22 1 1 13 1 24 c aa b ab 由 式得 22 222 1 1 ab aa b 即 222 111 1 aba 所以 2 1b 代入 式 解得 2 2a 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 2 x y 4分 2 设 11 Mx y 22 N xy 因为过 0 T tta 作斜率为 k 0 k的直线 l 交椭圆 C 于 M N两点 所以 lyk xt 由 22 22 yk xt xy 得 2222 2 1 2 4220kxk
13、 txk t 所以 2 12 2 2 2 1 2 2 4 12 22 12 k t xx k k t x x k 6分 思路一 因为 1 1 0 F 2 1 0 F 所以 111 1 F Mxy 222 1 F Nxy 因为 12 F MF N 所以 1221 1 1 xyxy 即 1221 1 1 k xxtk xx t 整理得 2112 2t xxxxt 所以 2 12 21 22 42 22 1212 xxk xx tkk 又 22 122112 4xxxxx x 所以 22 2 22 222 4222 4 121212 k tk t kkk 即 4 22 22 16442 1 2 1
14、k tk tk 22 2 2 1kt 10分 所以 12 2 2 21 2 2 1 2 2 1 t xx t t xx t 则 2 1 2 224 2 1 tt x t 所以 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 ttttt x tttt 因为 1 MFMT 所以 M 在 1 FT 的中垂线上 则 1 1 2 t x 所以 21 12 tt t 即 2 2421ttt 所以 2 3t 又2t 所以3t 16分 T y xF2F1 N M O 第 18 题 6 11 思路二 因为 12 F MF N 所以 2 1 F TNT MTFT 即 2 2 2 1 1 1 1 1 ktx t t k
15、tx 所以 12 1 1 ttxttx 即 22 1122 ttxtxttxtx 所以 21 1 1 2txtxt 因为 1 MFMT 所以 M 在 1 FT 的中垂线上 则 1 1 2 t x 所以 2 2 1 1 2 2 t txt 又 2t 则 2 1 2 t x 所以 2 2 2 2 2 114 2212 1122 2212 ttk t k ttk t k 解得 2 2 1 2 3 k t 故3t 思路三 因为 1 MFMT 所以 11 MFTMTF 所以 M 在 1 FT 的中垂线上 则 1 1 2 t x 因为 12 F MF N 所以 12 MFTNF T 则 21 NF TNT
16、F 所以 N 在 2 F T 的中垂线上 则 2 1 2 t x 注 也可以由 1 1 F Myk x lyk xt 联立解得 1 1 2 t x 同理 由 2 1 F Nyk x lyk xt 联立解得 2 1 2 t x 所以 2 2 2 2 2 114 2212 1122 2212 ttk t k ttk t k 解得 2 2 1 2 3 k t 故3t 注 本题的解法较多 但根本是解关于 12 xx k t 的四个方程 19 本小题满分16 分 已知函数 lnf xx 2 1 2 g xxax aR 1 若曲线 yf x 在1x处的切线也是曲线 yg x 的切线 求 a的值 2 记 h xfxg x 设 1212 x xxx 是函数 h x 的两个极值点 且 5 2 a 若 12 h xh xt恒成立 求实数t的取值范围 判断函数 h x 的零点个数 并说明理由 答案 1 当1x时 1 0f 又 1 fx x 所以 1 1f 则曲线 yf x 在1x处的切线方程为1yx 由 2 1 1 2 yx yxax 得 2 1 1 10 2 xax 7 11 因为1yx也是曲线 yg x
