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1、 1 山东省淄博六中2015 届高三上学期期末数学试卷 理科 一 选择题 本大题共10 小题 每小题5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 5 分 复数的虚部是 A 1 B 1 C i D i 2 5 分 下列有关命题的说法正确的是 A 命题 若x 2 1 则 x 1 的否命题为 若 x 2 1 则 x 1 B x 1 是 x 2 5x 6 0 的必要不充分条件 C 命题 x R 使得 x 2 x 1 0 的否定是 x R 均有 x 2 x 1 0 D 命题 若x y 则 sinx siny 的逆否命题为真命题 3 5 分 已知函数y x 2 与 y x
2、 3 图象的交点坐标为 x0 y0 则 x0所在的大致区间 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 4 5 分 若实数x y 满足 则 z 的最大值为 A 1 B 2 C 1 D 5 5 分 集合 A x y 函数 y f x x 0 1 B x y x a a R a是 常数 则 A B 中元素个数是 A 至少有 1 个B 有且只有1 个C 可能 2 个D 至多有 1 个 6 5 分 如图 1 所示 长方体AC1沿截面 A1C1MN截得几何体DMN D1A1C1 它的正视图 侧视 图均为图2 所示的直角梯形 则该几何体的体积为 2 A B C 14 D 10 7 5 分 已知双曲线渐
3、近线方程 y 2x 焦点是F 0 则双曲线标准方程是 A 1 B 1 C 1 D 1 8 5 分 设 Sn是等比数列 an 的前 n 项和 且32a2 a7 0 则 A 11 B 5 C 8 D 11 9 5 分 8 的展开式中x 2 的系数为 A B C D 7 10 5分 f x 是定义在D上的函数 若存在区间 m n D 使函数 f x 在 m n 上 的值域恰为 km kn 则称函数f x 是 k 型函数 给出下列说法 f x 3 是 1 型函数 若函数y x 2 x 是 3 型函数 则 m 4 n 0 函数 f x x 2 3x 4 是 2型函数 若函数y a 0 是 1 型函数 则
4、n m的最大值为 则以上说法正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题 本大题共5 小题 每小题5 分 共 25 分 11 5分 执行如图所示的程序框图 若输出的结果为3 则整数m 3 12 5分 已知正数x y 满足 x y 10 则 x y 的最大值为 13 5 分 在某项测量中 测量结果 服从正态分布N 1 2 0 若 在 0 2 内取值的概率为0 7 则 在 0 1 内取值的概率为 14 5分 若函数f a 2 sinx dx 则 f 15 5分 棱长为1 的正方体AC1 动点 P在其表面上运动 且与点A的距离是 点 P 的集合形成一条曲线 这条曲线的长度是 三 解答题
5、本大题共6 小题 共75 分 解答过程需写出必要的文字说明 只有最后结果 不得分 16 12 分 已知向量 cos x sin x cos x cos x 0 函数 f x 的最小正周期为 求函数f x 的单调递增区间 在 ABC 中 角 A B C的对边分别是a b c 且满足a c 8 b 7 f 求 ABC的面积 17 12 分 如图三棱柱ABC A1B1C1中 底面ABC 侧面 AA1C1C AA1C是正三角形 AB BC 且 AB BC 又三棱锥A A1BC的体积是 1 证明 AC A1B 2 求直线BC和面 ABA1所成角的正弦 4 18 12 分 某高中进行高中生歌唱比赛 在所有
6、参赛成绩中随机抽取100 名学生的成绩 按 成绩分组 第1 组 75 80 第 2 组 80 85 第 3 组 85 90 第 4 组 90 95 第 5组 95 100 得到的频率分布直方图如图所示 现在组委会决定在笔试成绩高的第3 4 5 组中 用分层抽样抽取6 名学生进入第二轮面试 1 求 3 4 5组各应该抽取多少人进入第二轮面试 2 学校决定在 1 中抽取的这6 名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试 设第3 组中有 名学生被考官D面试 求 的分布列和数学期望 19 12 分 已知等差数列 an 的公差 d 0 它的前n 项和为 Sn 若 S5 70 且 a2 a7 a22成 等比
7、数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 的前 n 项和为 Tn 求证 Tn 20 13 分 设函数f x alnx bx g x x 2 1 若 f x 在点 1 f 1 处的切线方程是y 3x 4 求 a b 的值 2 若 f 1 g 1 f 1 g 1 是否存在实数k 和 m 使得不等式f x kx m g x kx m 都在各自定义域内恒成立 若存在 求出k 和 m的值 若不存在 说明理由 21 14 分 已知点F1 0 F2 0 曲线 r 上任意一点P满足 PF1 PF2 4 抛物线 x 2 2py p 0 1 若抛物线的焦点在曲线r 上 求曲线r 的标准方程和抛物线标准方程
8、2 设抛物线的焦点是F 0 在抛物线上是否存在点M 使得以点M为切点的切线与曲 线 r 相交于 A B两点 且以AB为直径的圆过坐标原点O 若存在 求出点M的坐标 若不存 在 说明理由 5 山东省淄博六中2015 届高三上学期期末数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共10 小题 每小题5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 5 分 复数的虚部是 A 1 B 1 C i D i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 数系的扩充和复数 分析 根据复数的运算将复数进行横截距 解答 解 则复数的虚部为 1 故选 A 点评 本题主要考查复数的有关概
9、念 比较基础 2 5 分 下列有关命题的说法正确的是 A 命题 若x 2 1 则 x 1 的否命题为 若 x 2 1 则 x 1 B x 1 是 x 2 5x 6 0 的必要不充分条件 C 命题 x R 使得 x 2 x 1 0 的否定是 x R 均有 x 2 x 1 0 D 命题 若x y 则 sinx siny 的逆否命题为真命题 考点 命题的否定 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 对于 A 因为否命题是条件和结果都做否定 即 若x 2 1 则 x 1 故错误 对于 B 因为 x 1 x 2 5x 6 0 应为充分条件 故错误 对于 C 因为命题的否定形式只否定结果 应为 x R
10、均有 x 2 x 1 0 故错误 由排除法 即可得到答案 解答 解 对于A 命题 若x 2 1 则 x 1 的否命题为 若 x 2 1 则 x 1 因为否命 题应为 若x 2 1 则 x 1 故错误 对于 B x 1 是 x 2 5x 6 0 的必要不充分条件 因为 x 1 x 2 5x 6 0 应为充 分条件 故错误 对于 C 命题 x R 使得 x 2 x 1 0 的否定是 x R 均有 x 2 x 1 0 因为命题的否定应为 x R 均有 x 2 x 1 0 故错误 由排除法得到D正确 故答案选择D 点评 此题主要考查命题的否定形式 以及必要条件 充分条件与充要条件的判断 对于 命题的否
11、命题和否定形式要注意区分 是易错点 6 3 5 分 已知函数y x 2 与 y x 3 图象的交点坐标为 x0 y0 则 x0所在的大致区间 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 考点 幂函数的性质 幂函数的概念 解析式 定义域 值域 专题 函数的性质及应用 分析 构造函数f x x 3 判断函数 f x 的零点在哪个区间即可 解答 解 根据题意 设f x x 3 则 f 0 0 3 4 0 f 1 1 3 1 0 f 2 2 3 7 0 函数 f x 存在零点x0 1 2 即函数 y x 2 与 y x 3 图象的交点横坐标x0所在的区间为 1 2 故选 B 点评 本题考查了根据根
12、的存在性定理判断函数零点的问题 是基础题目 4 5 分 若实数x y 满足 则 z 的最大值为 A 1 B 2 C 1 D 考点 简单线性规划 专题 不等式的解法及应用 分析 作出不等式组对应的平面区域 利用z 的几何意义 即可得到结论 解答 解 z 1 设 k 则 k 的几何意义是点P到定点 Q 1 1 的斜率 作出不等式组对应的平面区域如图 由图象可知AQ的斜率最大 此时A 1 0 k 则 z 的最大值1 故选 D 7 点评 本题主要考查线性规划和直线斜率的应用 利用数形结合是解决本题的关键 5 5 分 集合 A x y 函数 y f x x 0 1 B x y x a a R a是 常数
13、 则 A B 中元素个数是 A 至少有 1 个B 有且只有1 个C 可能 2 个D 至多有 1 个 考点 交集及其运算 专题 集合 分析 由函数的定义 当a 0 1 时 A B 中有唯一的元素 当a 0 1 时 A B 为空集 解答 解 由函数的定义 当 a 0 1 时 A B 中有唯一的元素 当 a 0 1 时 A B 为空集 A B 元素个数是至多有1 个 故选 D 点评 本题考查交集中元素个数的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意函数性质的 合理运用 6 5 分 如图 1 所示 长方体AC1沿截面 A1C1MN截得几何体DMN D1A1C1 它的正视图 侧视 图均为图2 所示的直角梯形
14、 则该几何体的体积为 A B C 14 D 10 8 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 由已知可得几何体DMN D1A1C1是三棱台 由已知中它的正视图 侧视图均为图2 所 示的直角梯形 代入台体体积公式可得答案 解答 解 由已知可得几何体DMN D1A1C1是三棱台 又 它的正视图 侧视图均为图2 所示的直角梯形 故棱台的上下底面面积分别为 和 2 高为 4 故棱台的体积V 故选 A 点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积 解决本题的关键是得到该几何体的 形状 7 5 分 已知双曲线渐近线方程 y 2x 焦点是F 0 则双曲线标准方程是 A 1 B 1 C
15、1 D 1 考点 双曲线的标准方程 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 双曲线焦点在y 轴上 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 求出渐近线方 程 可得c 2 再由 a b c 的关系解得a b 即可得到双曲线的方程 解答 解 双曲线焦点在y 轴上 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 则渐近线方程为y x 由题意可得c 2 又 10 a 2 b 2 解得 a 2 b 则双曲线方程为 1 故选 A 点评 本题考查双曲线的方程和性质 考查渐近线方程的运用 考查运算能力 属于基础 题 9 8 5 分 设 Sn是等比数列 an 的前 n 项和 且32a2 a7 0 则 A 11 B 5
16、 C 8 D 11 考点 等比数列的前n 项和 专题 等差数列与等比数列 分析 由已知 32a2 a7 0 求得等比数列的公比 然后由等比数列的前n 项和求得的值 解答 解 数列 an 为等比数列 且32a2 a7 0 得 q 5 32 即 q 2 则 故选 D 点评 本题考查了等比数列的通项公式 考查了等比数列的前n 项和 是基础题 9 5 分 8 的展开式中x 2 的系数为 A B C D 7 考点 二项式系数的性质 专题 计算题 二项式定理 分析 由二项式定理 可得 8 的展开式的通项 在其中令x 的指数为0 解可 得 r 的值 将r 的值代入通项可得答案 解答 解 由二项式定理 可得 8 的展开式的通项为Tr 1 C8 r 8 r r r C 8 r x4 r 令 4 r 2 解可得r 2 则 r 2 时 T3 C8 2 x2 7x2 即其展开式中x 2 的系数为7 故选 D 点评 本题考查二项式定理的运用 解题的关键在于准确运用二项式展开式的通项 10 10 5分 f x 是定义在D上的函数 若存在区间 m n D 使函数 f x 在 m n 上 的值域恰为 km kn 则称
