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1、1 山东省济南一中2013 2014 学年高二数学下学期期中考试试题理 第 卷 选择题 共60 分 一 单项选择题 每小题5 分 共 60 分 1 已知点 3 1 4 A 3 5 10 B 则线段 AB的中点M的坐标为 A 0 4 6 B 0 2 3 C 0 2 3 D 0 2 6 2 设函数 2 6f xxx 则 f x 在 0 x 处的切线斜率为 A 0 B 1 C 3 D 6 3 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1 中 下列各式中运算结果为向量AC1 的是 AB BC CC1 AA1 A1D1 D1C1 AB BB1 B1C1 AA1 A1B1 B1C1 A B C D 4 方
2、程 2 2520 xx 的两个根可分别作为 一椭圆和一双曲线的离心率 两抛物线的离心率 一椭圆和一抛物线的离心率 两椭圆的离心率 8 曲线 22 1 6 106 xy m mm 与曲线 22 1 59 59 xy m mm 的 A 焦距相等 B 离心率相等 C 焦点相同 D 以上答案都不对 9 用数学归纳法证明不等式 2 24 13 2 1 2 1 1 1 n nnn 时的过程中 由 kn 到 1kn 时 不等 式的左边 2 A 增加了一项 1 2 1 k B 增加了两项 1 2 1 12 1 kk C 增加了两项 1 2 1 12 1 kk 又减少了 1 1 k D 增加了一项 1 2 1
3、k 又减少了一项1 1 k 10 设函数 f x 在R上可导 其导函数 fx 且函数 f x 在 2x 处取得极小值 则函数 yxfx 的图象可能 是 11 已知函数 1 23 xaxxxf 在 上是单调函数 则实数的取值范围是 A 3 3 B 3 3 C 3 3 D 3 3 12 P为双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点 M N分别是圆 22 5 4xy 和 22 5 1xy 上的点 则 PMPN 的最大值为 6 7 8 9 第 卷 非选择题 共60 分 二 填空题题 每小题5 分 共 25 分 13 若向量 2 3 6 4 2 4 ba 则 23 2 abab rr rr g 14
4、 已知双曲线 x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 一条渐近线方程为 y 4 3x 则双曲线的离心率 15 已知矩形ABCD P为平面 ABCD 外一点 M N分别为 BC PD的中点 且满足MN xAB yAD zAP 则实数 x y z 的值为 16 曲线 y 1 x 与直线 y x x 2 所围成的图形的面积为 3 17 观察下图 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 则第 行的各数之和等于2 0112 三 解答题 本大题共3 小题 满分35 分 解答题写出必要的文字说明 推演步骤 18 本小题满分12 分 已知四棱锥 PABCD的底面为直角梯形 ABD
5、C PADAB 90 底面 ABCD 且 1 2 PAADDC 1AB M是PB的中点 证明 面PAD面PCD 求 AC与PB所成的角 求面 AMC 与面 BMC所成二面角的大小余弦值 19 本小题共12 分 已知函数 f x In 1 x x 2 2 k x k 0 当k 2 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 求 f x 的单调区间 20 本小题满分11 分 已知直线 1xy 与椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 相交于 A B两点 若椭圆的离心率为 3 3 焦距为2 求线段AB的长 若向量 OA与向量OB互相垂直 其中 O 为坐标原点 当椭圆的离心率
6、2 2 2 1 e 时 求椭圆的长轴长的 最大值 4 参考答案 几何法 在 MC 上取一点 N x y z 则存在 R 使 MCNC 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 zyxMCzyxNC 要使 14 00 25 ANMCAN MCxz u u u r u uu u r g只需即解得 4121212 1 0 1 1 5555555 0 NAN MCANBN BN MC uuu r uu u u ruuu ruu u r uuu ru uu u r 可知当时点坐标为能使此时 有 ANBMCBNMCANMCBNMCAN所以得由 0 0 为 所求二面角的平面角 303042 cos 5553
7、AN BN ANBNAN BNAN BN ANBN uu ur u uu r uuu ruuu ruuu r uuu ru uu r uuu r g uuu ruuu rQg 19 解 I 当 2k 时 2 ln 1 f xxxx 1 12 1 fxx x由于 1 ln 2f 3 1 2 f 所 以曲线 yf x 在点 1 1 f 处的切线方程为 3 ln 2 1 2 yx 即 322ln 230 xy II 1 1 x kxk fx x 1 x 当 0k 时 1 x fx x 所以 在区间 1 0 上 0fx 在区间 0 上 0fx 5 故 f x 得单调递增区间是 1 0 单调递减区间是
8、0 当0 1k 时 由 1 0 1 x kxk fx x 得 1 0 x 2 1 0 k x k 所以 在区间 1 0 和 1 k k上 0fx 在区间 1 0 k k上 0fx 故 fx 得单调递增区间是 1 0 和 1 k k 单调递减区间是 1 0 k k 当 1k 时 2 1 x fx x 故 f x 得单调递增区间是 1 当 1k 时 1 0 1 x kxk fx x 得 1 1 1 0 k x k 2 0 x 所以没在区间 1 1 k k和 0 上 0fx 在区间 1 0 k k上 0fx 故 f x 得单调递增区间是 1 1 k k和 0 单调递减区间是 1 0 k k 20 解析 1 8 3 5 2 联 立 方 程 得 2222222 20abxa xaa b 由 0OA OB uuu r uu u r 得 出 2222 2aba b 变 形 为 2 2222 22 1 1 2121 a bace aa 由 e 范围得出 426 62 a 则长轴长最大值为 6
