《高考数学（文科课标Ⅱ专用）复习专题测试（命题规律探究+题组分层精练）：§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（文科课标Ⅱ专用）复习专题测试（命题规律探究+题组分层精练）：§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 10 4直线与圆锥曲线的位置关系 高考文数 课标 专用 1 2017课标全国 12 5分 过抛物线C y2 4x的焦点F 且斜率为的直线交C于点M M在x轴的上方 l为C的准线 点N在l上且MN l 则M到直线NF的距离为 A B 2C 2D 3 五年高考 A组统一命题 课标卷题组 答案C本题考查抛物线的方程和性质 因为直线MF的斜率为 所以直线MF的倾斜角为60 则 FMN 60 由抛物线的定义得 MF MN 所以 MNF为等边三角形 过F作FH MN 垂足为H 易知F 1 0 l的方程为x 1 所以 OF 1 NH 2 所以 MF 2 即 MF 4 所以M到直线NF的距离d FH MF
2、sin60 4 2 故选C 思路分析利用抛物线的定义得 MN MF 从而得 MNF为等边三角形 易得点M到直线NF的距离等于 FH 进而得解 解题反思涉及抛物线焦点和准线的有关问题 应充分利用抛物线的定义求解 本题中直线的倾斜角为特殊角60 通过解三角形更快捷 若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标 然后求点N的坐标和直线NF的方程 再利用点到直线的距离公式求解 运算量会比较大 2 2014课标 10 5分 0 320 设F为抛物线C y2 3x的焦点 过F且倾斜角为30 的直线交C于A B两点 则 AB A B 6C 12D 7 答案C焦点F的坐标为 直线AB的斜率为 所以直线AB的方程为y
3、即y x 代入y2 3x 得x2 x 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 所以 AB x1 x2 12 故选C 思路分析思路一 直接求出点A B的坐标 再利用两点间距离公式计算 思路二 联立直线与抛物线方程 消去y 利用抛物线定义及弦长公式求解 3 2013课标 10 5分 0 360 设抛物线C y2 4x的焦点为F 直线l过F且与C交于A B两点 若 AF 3 BF 则l的方程为 A y x 1或y x 1B y x 1 或y x 1 C y x 1 或y x 1 D y x 1 或y x 1 答案C设直线AB与抛物线的准线x 1交于点C 分别过A B作AA1垂直准线于A1
4、 BB1垂直准线于B1 由抛物线的定义可设 BF BB1 t AF AA1 3t 由三角形的相似得 BC 2t B1CB 直线的倾斜角 或 又F 1 0 直线AB的方程为y x 1 或y x 1 故选C 4 2017课标全国 20 12分 设A B为曲线C y 上两点 A与B的横坐标之和为4 1 求直线AB的斜率 2 设M为曲线C上一点 C在M处的切线与直线AB平行 且AM BM 求直线AB的方程 方法总结 1 直线与抛物线的位置关系点差法 在已知 x1 x2 或 y1 y2 的值 求直线l的斜率时 利用点差法计算 在很大程度上减少运算过程中的计算量 2 直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥
5、曲线相交 求参数时 一般联立直线与圆锥曲线的方程 消元后利用韦达定理 结合已知列方程求解参数 求弦长时 可通过弦长公式 AB x1 x2 或 AB y1 y2 k 0 求解 5 2016课标全国 20 12分 在直角坐标系xOy中 直线l y t t 0 交y轴于点M 交抛物线C y2 2px p 0 于点P M关于点P的对称点为N 连接ON并延长交C于点H 1 求 2 除H以外 直线MH与C是否有其他公共点 说明理由 解析 1 由已知得M 0 t P 1分 又N为M关于点P的对称点 故N ON的方程为y x 代入y2 2px整理得px2 2t2x 0 解得x1 0 x2 因此H 4分 所以N
6、为OH的中点 即 2 6分 2 直线MH与C除H以外没有其他公共点 7分 理由如下 直线MH的方程为y t x 即x y t 9分 代入y2 2px得y2 4ty 4t2 0 解得y1 y2 2t 即直线MH与C只有一个公共点 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点 12分 方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题 思路分析 1 由点M求出点N的坐标 继而求得直线ON与抛物线的交点H的坐标 2 思路1 先求出直线MH的方程 与抛物线方程联立 求出交点坐标 得到只有一个交点的结论 思路2 求出抛物线在H点切线的斜率 证明该斜率等于直线MH的斜率 从而直
7、线MH与抛物线相切 得到除H以外没有其他交点的结论 评析本题考查了直线与抛物线的位置关系 考查了运算求解能力 得到交点的坐标是求解的关键 6 2016课标全国 20 12分 已知抛物线C y2 2x的焦点为F 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交C于A B两点 交C的准线于P Q两点 1 若F在线段AB上 R是PQ的中点 证明AR FQ 2 若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍 求AB中点的轨迹方程 解析由题设知F 设l1 y a l2 y b 易知ab 0 且A B P Q R 记过A B两点的直线为l 则l的方程为2x a b y ab 0 3分 1 由于F在线段AB上 故1 ab 0
8、记AR的斜率为k1 FQ的斜率为k2 则k1 b k2 所以AR FQ 5分 2 设l与x轴的交点为D x1 0 则S ABF b a FD b a S PQF 由题设可得2 b a 所以x1 0 舍去 或x1 1 设满足条件的AB的中点为E x y 当AB与x轴不垂直时 由kAB kDE可得 x 1 而 y 所以y2 x 1 x 1 当AB与x轴垂直时 E与D重合 所以 所求轨迹方程为y2 x 1 12分 易错警示容易漏掉直线AB与x轴垂直的情况而失分 思路分析 1 设A B的纵坐标分别为a b 利用其在抛物线上 可得直线AB的方程 含a b 进而写出直线AR FQ的斜率 证得AR FQ 2
9、 分别算出三角形ABF和三角形PQF的面积 含a b 根据已知条件可得AB中点的坐标所满足的方程 评析本题考查了直线与抛物线的位置关系 考查了线段的中点的轨迹问题 考查了运算求解的能力 本题中对三角形的面积关系的处理是求解的关键 7 2014大纲全国 22 12分 已知抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 直线y 4与y轴的交点为P 与C的交点为Q 且 QF PQ 1 求C的方程 2 过F的直线l与C相交于A B两点 若AB的垂直平分线l 与C相交于M N两点 且A M B N四点在同一圆上 求l的方程 解析 1 设Q x0 4 代入y2 2px得x0 所以 PQ QF x0 由题设得
10、解得p 2 舍去 或p 2 所以C的方程为y2 4x 5分 2 依题意知l与坐标轴不垂直 故可设l的方程为x my 1 m 0 代入y2 4x得y2 4my 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4m y1y2 4 故AB的中点为D 2m2 1 2m AB y1 y2 4 m2 1 又l 的斜率为 m 所以l 的方程为x y 2m2 3 将上式代入y2 4x 并整理得y2 y 4 2m2 3 0 设M x3 y3 N x4 y4 则y3 y4 y3y4 4 2m2 3 故MN的中点为E MN y3 y4 10分 由于MN垂直平分AB 故A M B N四点在同一圆上等价于 AE
11、 BE MN 从而 AB 2 DE 2 MN 2 即4 m2 1 2 化简得m2 1 0 解得m 1或m 1 所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 12分 评析本题主要考查抛物线的定义 标准方程及直线与抛物线的位置关系等知识 着重考查概念的理解运用能力 运算变形能力及分类讨论思想 1 2014湖南 14 5分 平面上一机器人在行进中始终保持与点F 1 0 的距离和到直线x 1的距离相等 若机器人接触不到过点P 1 0 且斜率为k的直线 则k的取值范围是 B组自主命题 省 区 市 卷题组 答案 1 1 解析设机器人为A x y 依题意得点A在以F 1 0 为焦点 x 1为准线的抛物线
12、上 该抛物线的标准方程为y2 4x 过点P 1 0 斜率为k的直线为y k x 1 由得ky2 4y 4k 0 当k 0时 显然不符合题意 当k 0时 依题意得 4 2 4k 4k0 解得k 1或k 1 因此k的取值范围为 1 1 评析本题考查抛物线的定义及标准方程 直线与抛物线的位置关系 2 2015北京 20 14分 已知椭圆C x2 3y2 3 过点D 1 0 且不过点E 2 1 的直线与椭圆C交于A B两点 直线AE与直线x 3交于点M 1 求椭圆C的离心率 2 若AB垂直于x轴 求直线BM的斜率 3 试判断直线BM与直线DE的位置关系 并说明理由 解析 1 椭圆C的标准方程为 y2
13、1 所以a b 1 c 所以椭圆C的离心率e 2 因为AB过点D 1 0 且垂直于x轴 所以可设A 1 y1 B 1 y1 直线AE的方程为y 1 1 y1 x 2 令x 3 得M 3 2 y1 所以直线BM的斜率kBM 1 3 直线BM与直线DE平行 证明如下 当直线AB的斜率不存在时 由 2 可知kBM 1 又因为直线DE的斜率kDE 1 所以BM DE 当直线AB的斜率存在时 设其方程为y k x 1 k 1 设A x1 y1 B x2 y2 则直线AE的方程为y 1 x 2 评析本题考查椭圆的离心率 直线的斜率以及直线与椭圆的位置关系等知识 考查学生的运算求解能力和推理论证能力 是一道
14、综合题 属于难题 3 2015福建 19 12分 已知点F为抛物线E y2 2px p 0 的焦点 点A 2 m 在抛物线E上 且 AF 3 1 求抛物线E的方程 2 已知点G 1 0 延长AF交抛物线E于点B 证明 以点F为圆心且与直线GA相切的圆 必与直线GB相切 解析 1 由抛物线的定义得 AF 2 因为 AF 3 即2 3 解得p 2 所以抛物线E的方程为y2 4x 2 解法一 因为点A 2 m 在抛物线E y2 4x上 所以m 2 由抛物线的对称性 不妨设A 2 2 由A 2 2 F 1 0 可得直线AF的方程为y 2 x 1 由得2x2 5x 2 0 解得x 2或x 从而B 又G
15、1 0 所以kGA kGB 所以kGA kGB 0 从而 AGF BGF 这表明点F到直线GA GB的距离相等 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切 解法二 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r 因为点A 2 m 在抛物线E y2 4x上 所以m 2 由抛物线的对称性 不妨设A 2 2 由A 2 2 F 1 0 可得直线AF的方程为y 2 x 1 由得2x2 5x 2 0 解得x 2或x 从而B 又G 1 0 故直线GA的方程为2x 3y 2 0 从而r 又直线GB的方程为2x 3y 2 0 所以点F到直线GB的距离d r 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB
16、相切 评析本题主要考查抛物线 直线与圆的位置关系等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 函数与方程思想 4 2014辽宁 20 12分 圆x2 y2 4的切线与x轴正半轴 y轴正半轴围成一个三角形 当该三角形面积最小时 切点为P 如图 1 求点P的坐标 2 焦点在x轴上的椭圆C过点P 且与直线l y x 交于A B两点 若 PAB的面积为2 求C的标准方程 评析本题考查了直线 圆 椭圆之间的位置关系 考查了待定系数法和运算求解能力 灵活利用不等式和根与系数的关系进行运算是求解的关键 5 2014陕西 20 13分 已知椭圆 1 a b 0 经过点 0 离心率为 左 右焦点分别为F1 c 0 F2 c 0 1 求椭圆的方程 2 若直线l y x m与椭圆交于A B两点 与以F1F2为直径的圆交于C D两点 且满足 求直线l的方程 解析 1 由题设知解得a 2 b c 1 椭圆的方程为 1 2 由 1 知 以F1F2为直径的圆的方程为x2 y2 1 圆心到直线l的距离d 由d 1得 m CD 2 2 设A x1 y1 B x2 y2 由得x2 mx m
