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1、 .SARS传播模型摘 要：本文中我们对北京地区4月20日-6月8日的SARS疫情数据进行了分析处理，把北京地区SARS疫情分为两个时期：感染期（4月20日-5月16日）和恢复期（5月17日-6月8日）。由于医务人员人群是SARS病的高发人群，所以我们在本文的模型中把病人人群分为医务人员病人人群和非医务人员病人人群。通过分析文中附件1的数据，我们建立了两个时期SARS传播的微分方程模型，并得到了模型的解，感染期模型的解为：，恢复期模型的解为：。从模型解的曲线与实际数据的比较，我们发现该模型的解与实际数据是非常吻合的。关键词：SARS，三次样条插值，高次多项式拟合0. 引 言SARS（Sever
2、e Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是一种新的、传染性很强的疾病，它在我国部分地区的暴发与蔓延，严重威胁了人民的健康与生命安全，影响我国的社会稳定与经济发展。我们从整个抗击SARS的斗争中得到了许多重要的经验和教训，同时也认识到定量地研究传染病的传播规律、预测传染病发展趋势的必要性和重要性。1. 问题分析由于SARS主要是通过近距离的飞沫传播，与病人有过密切接触的人群就很可能被感染，成为SARS病人，所以我们在模型里假设健康者只要与病人接触，则感染为病人，且由于医务人员每天都直接与病人接触，所以医务人员人群是SARS病的高发人群，
3、其主要是被住院的病人传染。而普通病人即非医务人员的病人，主要是由一些病人在发病后未及时被隔离治疗而与健康人接触，并使其感染病毒，因此我们在模型里把病人分为医务人员病人和普通病人。同时临床统计数据表明SARS病的潜伏期为2-12天，一般在4-5天，治愈后的病人没有出现再次患病现象，所以我们也假定治愈后的病人具有免疫力。虽然SARS病在2002年底到2003年初就在我国各地市广泛传播，但是疫情数据并没有精确的得到统计，从4月20日后，国家卫生部才在专门的网站上发布各地的SARS疫情数据，本文中我们只对北京地区4月20日-6月8日的数据进行分析。通过对本文附录1中数据的处理，我们发现北京市4月20日
4、-6月8日的疫情可分为两个时期：感染期（4月20日-5月16日）和恢复期（5月17日-6月8日）（见附录2）。并且通过拟合附件1中所给的数据，我们得到了两个时期内医务人员及普通人员的日感染率k，日死亡率d和日治愈率z，建立了SARS传染病的一个微分方程模型。2. 模型假设1) 本文主要考察的是北京地区的疫情变化, 在疾病传播期内该地区的人口总数N=10000000不变，即为常量。2) 政府发布的北京地区的疫情数据真实可信。3) SARS传播途径都视为与病源的直接接触, 每个病人与健康者接触时，都使健康者感染变成病人,且病人发病后马上被隔离，即住院治疗 。4) 将人群分为三类：健康者（易受感染者
5、）、病人（已被感染者）、退出者（死亡者和治愈者）,在t时刻三者在总人数中的比例分别为s(t)、i(t)、r(t)，且s(t)+i(t)+r(t)=1。其中病人又分为医务人员病人和非医务人员即普通病人。5) 假设不考虑SARS传播期内的北京地区的人口出生率和自然死亡率。对于由SARS引起的死亡人数全部归为“退出者”, 治愈者不会再次被感染，具有免疫力，归为“退出者”。6) 假设每日新增的普通病人与当日健康人的人数成正比，比例系数为k1,称为普通病人的日感染率。每日新增的医务人员病人与当日住院的病人人数成正比，比例系数为k2,称为医务人员的日感染率。每日新增的病人死亡人数与当日已确诊的病人数成正比
6、，比例系数为d,称为病人的日死亡率。每日新增治愈的病人人数与当日已确诊的病人数成正比，比例系数为z,称为病人的日治愈率。由于k1，k2,d,z具有很强的实际意义，其具体的数值我们可以通过对给定的数据拟合得到。3. 符号说明，,，i0,s0分别为病人数，健康人数占总人口数的比例初始值。4. 模型建立从模型假设中的6)可知普通病人的日感染率k1, 医务人员的日感染率k2, 病人的日死亡率d, 病人的日治愈率z, 我们可以通过对附录1中的实际数据处理来得到。为了使得到的模型比较简单，我们考虑k1,k2,d,z都是常数，这时k1、k2、d、z分别表示普通病人的日感染率、医务人员的日感染率、病人的日死亡
7、率、病人的日治愈率的平均值，对感染期与恢复期我们可以建立下面相同的模型，这两个时期的差别主要在于普通病人的日感染率k1是否等于0(见附录2)。由上面的分析及假设，我们得到了下面的SARS病传播的微分方程模型： (1)5. 模型求解51 对感染期的模型求解我们考虑4月20日至5月16日，由附录1中所给的数据，经过拟合得到k1=5.352740148255210-6，k2=0.01742890531138，d=0.00453527706374，z=0.02388800922302。且以4月20日的疫情数据作为初始值，即。对于方程组（1）我们很难得到它的解析解，但由方程组（1）的前两个方程我们消去d
8、t，可以把（1）转化为下面的方程组： （2）于是令，其中把s看作关于i的函数得，即 。由于，再加上初始条件s（0）、i（0），从而我们可以得到方程组（2）的解：,其中，。表示t时刻，健康人数与病人人数的比值，它反映了传染病的严重程度。当t时刻u(t)越小，即病人占总人数的比例i(t)越大，健康人数的比例s(t)越小，则SARS疫情严重。反之，t时刻u(t)越大，则SARS疫情得到有效控制。 从4月20日至5月16日的SARS数据可得到u(t)的变化情况(如图1.)。从图1.中我们看到4月20日至5月16日，的值随着t的变化在急剧减少，主要是由于s(t)减少的同时i(t)也在快速增加，而5月17
9、日以后u(t)又开始上升，这是由于从5月17日北京市的疫情得到了有效控制，新增的SARS病例被控制在1例以内，健康人数不再减少。相反，病人每天逐渐被治愈，i(t)也在减少。图1.通过给模型中的解代入具体的数据，我们可以得到4月20日至5月16日病人数所占的总人数的比例i(t)的变化情况(如图2.)。可以看出模型解与实际数据的值非常吻合，这里我们所用的u(t)是健康人数与病人数的比值的三次样条插值函数，u(t)与实际数据越吻合则我们的解的曲线也就更加吻合于实际数据。图2.52 对恢复期的模型求解考虑4月20日至5月16日，由附录1中所给的数据，经过拟合得到k1=0，k2=2.3865721798
10、110-4，d=0.00117550039945，z=0.04137494891164。且以5月16日的疫情数据作为初始值，即。将其代入5.1的方程组（1）可得恢复期的模型： (3)通过消去方程组（3）中的dt，则方程组（3）转化为 （4）其解为：，其中。令，则方程组（4）的解可转化为：。我们仍然用5.1中得到的u(t)，即健康人数与病人数的比值的三次样条插值函数，则恢复期模型的解的图形如下：图3.53 北京市4月20日至6月8日SARS的疫情传播情况由5.1和5.2的结果，我们得到了北京市4月20日至6月8日SARS的疫情传播过程中，病人数占总人数的比例的变化趋势图（如图4.）。图4.6.
11、模型推广由于每一天k1,k2,d,z的值是不同的，即它们是随着时间而变化的值，所以我们可以考虑k1,k2,d,z都是关于时间t的函数，即在t时刻医务人员的日感染率k2(t)、普通病人的日感染率k1(t)、病人的日死亡率d(t)、病人的日治愈率z(t)，再利用实际数据经过多项式拟合得到k1(t)、k2(t)、d(t)、z(t)的多项式函数，或者用三次样条函数进行插值。这样使得模型的解与实际数据更加的吻合。同时我们也可以注意到SARS病的有效控制，很大程度上是由于传染病人在发病后马上被隔离，得到治疗。但是现实生活中不可能做到这样，在病人发病到被隔离治疗之间的这段时间 L内，病人就会与健康人接触而感
12、染健康人。因此L的值在建立SARS数学模型中非常重要。所以本模型也可以在这些方面进行改进。在得到的模型的解后，我们为了看到模型的解与实际数据的接近程度，通过三次样条函数进行插值u(t)的值，然后代入解中来分析病人数占总人数的比例i(t)随时间的变化情况。对于u(t)，我们也可以用高次多项式或分段高次多项式来处理，从下列图中我们发现选用的多项式次数越高，模型的解的值与实际数据的接近程度就更好，但是多项式次数越高就会使数据处理量加大，并且得到的解不稳定，出现病态数据。图5.7. 参考文献1 姜启源编，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年4月。2 Wliliam F.lucas主编，微分方程模
13、型,长沙:国防科技大学出版社,1998年5月。3 王高雄等编，常微分方程，北京：高等教育出版社，1999年3月。4 龚建华等著，SARS疫情控制的模拟分析，遥感学报，2003,7(4):260-265。5 Shoichiro Nakamura著，科学计算引论-基于MATLAB的数值分析，北京：电子工业出版社，2002年6月。6 傅鹂等编著，数学实验，北京：科学出版社，2001年3月。7 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一），长沙：湖南教育出版社，1998年4月。附录1：北京市疫情的数据（ 数据来源：中华人民共和国卫生部http:/ ）日 期已确诊病例累计医务人员现有疑似病例死亡累计治愈
14、出院累计4月20日3392440218334月21日4827861025434月22日5889966628464月23日69312678235554月24日77414386339644月25日87716095442734月26日988167109348764月27日1114187125556784月28日1199206127559 784月29日1347255135866834月30日1440270140875905月1日15532881415821005月2日16363001468911095月3日17413191493961155月4日180332615371001185月5日189733515101031215月6日196034815231071345月7日204935815141101415月8日213637014861121525月9日
