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1、1 1 77 结构动力学结构动力学 教师 刘晶波 助教 王东洋 清华大学土木工程系 教师 刘晶波 助教 王东洋 清华大学土木工程系 2015年秋年秋 2 77 本次课内容 本次课内容 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 无阻尼自由振动的解 结构自振频率和自振周期 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 临界阻尼和阻尼比 低阻尼体系 运动的衰减和阻尼比的测量 自由振动试验 库仑 Coulomb 阻尼自由振动 单自由度体系对简谐荷载的反应单自由度体系对简谐荷载的反应 无阻尼体系的简谐荷载反应 有阻尼体系的简谐荷载反应 共振反应 动力放大系数Rd 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系 3 77 结构动力学结构动力学结构
2、动力学 第3章 单自由度体系 第3章 单自由度体系 4 77 单自由度体系 单自由度体系 SDOF Single Degree of Freedom System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定 分析单自由度体系的意义分析单自由度体系的意义 一 单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基 本概念 二 很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算 结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型 2 5 77 第第第3 3 3章章章 单自由度体系单自由度体系单自由度体系 3 1 无阻尼自由振动3 1 无阻尼自由振动 6 77 3 1 无阻尼自由振动 自由振动 自由振动 结构
3、受到扰动离开平衡位置以后 不再受任何外力影响的振动过程 运动方程 扰动的表现 自由振动反映结构本身的特性 对结构自由振动 的分析可以了解结构自振频率自振频率 阻尼比阻尼比等概念 0 tkutuctum 0 0 00 uuuu tt 7 77 3 1 无阻尼自由振动 无阻尼 c 0 自由振动 p t 0 运动方程 初始条件 0 tkutu m 0 0 0 0 utu utu t t tptkutuctum 8 77 3 1 无阻尼自由振动 设无阻尼自由振动解的形式为 其中 s 为待定系数 A 为常数 特征方程 两个虚根 st Aetu 0 kuu m 0 2 st Aekms nn isis 2
4、1 m k i n 1 22 n mks 3 9 77 3 1 无阻尼自由振动 运动方程的通解为 指数函数与三角函数的关系 运动方程的解 A B 待定常数 由初始条件确定 st Aetu nn isis 21 tititsts nn eAeAeAeAtu 2121 21 xixe xixe ix ix sincos sincos tBtAtu nn sincos 10 77 3 1 无阻尼自由振动 将位移 和速度 带入初始条件 得待定常数为 tBtAtu nn sincos tBtAtu nnnn cossin Butu Autu nt t 0 0 0 0 n u BuA 0 0 11 77
5、3 1 无阻尼自由振动 体系无阻尼自由振动的解 其中 无阻尼振动是一个简谐运动简谐运动 Simple harmonic motion n 自振频率自振频率 Natural frequency t u tutu n n n sin 0 cos 0 m k n 12 77 3 1 无阻尼自由振动 22 0 0 0 max n u utuu n n T 2 u t t u 0 u 0 Tn 2 n u0 t u tutu n n n sin 0 cos 0 无阻尼体系的自由振动无阻尼体系的自由振动 4 13 77 3 1 无阻尼自由振动 结构的自振频率和自振周期 自振频率自振频率 Natural f
6、requency of vibration 自振周期自振周期 Natural Period of vibration 结构的重要动力特性 结构的自振频率也称为结构的固有频率 结构的自振周期也称为结构的固有周期 14 77 3 1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期及其关系 结构自振频率和自振周期及其关系 自振圆频率 单位 弧度 秒 rad s 自振周期 单位 秒 sec 自振频率 单位 周 秒 赫兹 Hz m k n n n T 2 2 n n f 15 77 3 1 无阻尼自由振动 自振周期Tn是体系的固有特性 当体系为线弹性时 无论初始条件如何 例如振幅很大或很小 由初始条 件产生 但
7、体系完成一个振动循环所用的时间是相 等的 即等于Tn 结构的自振周期 频率 是反映结构动力特性的最主要 的物理量 在描述一个结构的动力特性或实际测量结 构动力特性时是必须给出的量 不同结构的自振周期可能相差很大 从一般平房的0 1 秒 到200m左右高度的超高层结构的4 5秒 到大型 悬索桥的17秒不等 m k n n n T 2 16 77 第第第3 3 3章章章 单自由度体系单自由度体系单自由度体系 3 2 有阻尼自由振动3 2 有阻尼自由振动 5 17 77 3 2 有阻尼自由振动3 2 有阻尼自由振动 自由振动 p t 0 运动方程 初始条件 0 kuucum 0 0 0 0 utu
8、utu t t 18 77 3 2 有阻尼自由振动 令u t est 代入运动方程 整理得 由此可以得到特征方程的两个根为 0 kuucum 2 2 2 1 2 2 n m c m c s mk n 0 2 kcsms 19 77 3 2 有阻尼自由振动 u t est 当 体系不发生往复的振动 当 体系产生往复的振动 使 成立的阻尼c称为临界阻尼 临界阻尼临界阻尼记为ccr 0 2 2 2 n m c 22 2 1 2 2 n m c m c s 0 2 2 2 n m c 0 2 2 2 n m c kmmc ncr 22 20 77 临界阻尼体系的自由振动临界阻尼体系的自由振动 u t
9、u 0 u 0 u 0 u 0 n n u 0 u 0 n u 0 u 0 t t n n etututu 0 1 0 3 2 有阻尼自由振动 6 21 77 3 2 1 临界阻尼和阻尼比 临界阻尼 体系自由振动反应中不出现往复振动所需 的最小阻尼值 临界阻尼是完全由结构的刚度和质量决定的常数 阻尼比 阻尼系数阻尼系数c和临界阻尼和临界阻尼ccr的比值的比值 用 表示 kmmc ncr 22 ncr m c c c 2 22 77 3 2 1 临界阻尼和阻尼比 1 当 1时 称为低阻尼 Under damped 欠阻尼 结构体系称为低阻尼体系 2 当 1时 称为临界阻尼 Critically
10、damped 3 当 1时 称为过阻尼 Over damped 结构体系称为过阻尼体系 对于钢结构 钢筋混凝土结构 左右01 0 地震 中小强度 左右 脉动 微振 左右 05 0 03 0 23 77 3 2 有阻尼自由振动 低阻尼 临界阻尼和过阻尼体系的自由振动曲线低阻尼 临界阻尼和过阻尼体系的自由振动曲线 t T 2341 低阻尼 0 1 u t u 0 0 u 0 临界阻尼 1 过阻尼 2 24 77 3 2 有阻尼自由振动 对于过阻尼体系过阻尼体系 采用阻尼比表示 特征方程的两个根 为 体系的运动为 可已清楚的看到 对于过阻尼体系 运动方程的解是一 种衰减的运动 体系不发生往复的振动
11、n nnn s 1 2 22 2 1 tt nn BeAetu 1 1 22 7 25 77 3 2 2 低阻尼体系 Underdamped Systems 将 代入 得 n mc 2 Dn nn i is 2 2 1 1 22 2 1 2 2 n m c m c s ncr m c c c 2 26 77 3 2 2 低阻尼体系 Underdamped Systems 低阻尼体系满足初始条件的自由振动解 其中 D 阻尼体系的自振频率 Dn is 2 1 sin 0 0 cos 0 t uu tuetu D D n D t n 2 1 nD st eu 22 11 2 n n D T T D
12、D T 2 27 77 3 2 2 低阻尼体系 Underdamped Systems D 阻尼体系的自振频率 TD 阻尼体系的自振周期 n和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小 阻尼的存在使体系的自振周期变长 当阻尼比 1时 自振周期TD 2 1 nD 2 1 n D T T 28 77 3 2 2 低阻尼体系 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响 u t t u 0 u 0 Tn TD 无阻尼结构 有阻尼结构 e nt e nt 22 0 0 0 D nu u u 8 29 77 3 2 2 低阻尼体系 现场实测 D 和TD 理论计算 n 和
13、Tn 工程中结构的阻尼比 在1 5 之间 一般不超过20 因此可以用 有阻尼体系的结果 代替 无阻尼结果 2 1 nD 2 1 n D T T 阻尼对自振频率和自振周期的影响阻尼对自振频率和自振周期的影响 30 77 3 2 有阻尼自由振动 低阻尼体系的阻尼对 结构自由振动的影响 很大 因而 合理地 确定体系的阻尼是结 构动力问题研究中的 一项重要工作 由于阻尼对体系的衰 减自由振动曲线影响 大 通过对体系衰减 曲线的分析 可以有 效地分辨出不同体系 的阻尼比 u t t u t t u t t u t t 1 2 5 10 0 51015 20 31 77 对数衰减率法对数衰减率法 3 2
14、3 运动的衰减和阻尼比的测量 相邻振动峰值比 相邻振动峰值比 相邻振幅比仅与阻尼比有关 而与i的取值无关 1 2 exp exp 2 1 Dn Di i i i T Ttu tu u u t uu tuetu D D n D t n sin 0 0 cos 0 u t t u1 ui ui 1 TDTD ti TD ti 32 77 对数衰减率法对数衰减率法 对数衰减率对数衰减率 阻尼比计算公式 小阻尼时计算公式 1 2 exp exp 2 1 Dn Di i i i T Ttu tu u u 2 11 2 ln i i u u 2 2 1 2 2 9 33 77 对数衰减率法 相隔j周的振动
15、峰值比 对数衰减率 阻尼比 J50 振幅衰减至50 所需的次数 2 j ji ji i i i i ji i e u u u u u u u u 1 2 1 1 ji i u u j ln 1 ji i u u j ln 2 1 50 50 50 11 0 2ln 2 1 2ln 1 JJJ 34 77 3 2 4 自由振动试验 阻尼比 的测量 当 20 时 用位移记录 用加速度记录 用位移记录 用加速度记录 结构的自振周期TD的测量 用相邻振幅的时间间隔来计算用相邻振幅的时间间隔来计算 ji i u u j ln 2 1 ji i u u j ln 2 1 4 i u 3 i u 2 i u
16、 1 i u i u TDTD t 35 77 算例3 1 用自由振动法研究一单层框架结构的性质 用一钢索给 结构的屋面施加P 73kN的水平力 使框架结构产生 st 5 0cm的水平位移 突然切断钢索 让结构自 由振动 经过2 0sec 结构振动完成了4周循环 振 幅变为2 5cm 从以上数据计算 阻尼比 无阻尼自振周期Tn 等效刚度k 等效质量m 阻尼系数c 位移振幅衰减到0 5cm时所需的振动周数 模型 钢丝 减震垫层 重物 绞盘或 卷扬机 保护索 钢棒 36 77 算例3 1 解 计算阻尼比 振动4周 振幅由5 0cm变为2 5cm ui 5 0cm j 4 ui j 2 5cm 代入方程 得 结构属于小阻尼体系 ji i u u j ln 2 1 76 2 0276 0 5 2 5 ln 8 1 10 37 77 算例3 1 计算无阻尼自振周期Tn 振动周次 4 时间 2秒 有阻尼自振周期 无阻尼自振周期 对于小阻尼体系 自振周期近似等于无阻尼自振周期 sec5 0 4 0 2 D T sec5 04998 00276 015 0 1 2 2 Dn TT 38 77 算例3
