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1、第一讲坐标系一平面直角坐标系 自主预习 1 直角坐标系 1 数轴 定义 规定了原点 正方向和 的直线 对应关系 数轴上的点与 之间一一对应 单位长度 实数 2 直角坐标系 定义 在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系 简称直角坐标系 相关概念 数轴的正方向 水平放置的数轴 的方向 竖直放置的数轴 的方向分别是数轴的正方向 向右 向上 x轴或横轴 坐标轴 的数轴 y轴或纵轴 坐标轴 的数轴 坐标原点 坐标轴的 对应关系 平面直角坐标系内的点与 之间一一对应 水平 竖直 公共原点O 有序实数对 x y 公式 设平面直角坐标系中 点P1 x1 y1 P2 x2 y2 线段P1
2、P2的中点为P 填表 2 平面直角坐标系中的伸缩变换设点P x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点P x y 对应到点P x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 即时小测 1 函数y ln x 的图象为 解析 选D 函数y ln x 是偶函数 图象关于y轴对称 又y lnx在 0 上为增函数 故选D 2 曲线C经过伸缩变换后 对应曲线的方程为 x2 y2 1 则曲线C的方程为 解析 选A 曲线C经过伸缩变换 后 对应曲线的方程为x 2 y 2 1 把 代入 得到 9y2 1 知识探究 探究点平面直角坐标系中点的位置1 平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么
3、特点 提示 平面直角坐标系内的点 第一象限符号全正 第二象限横坐标为负 纵坐标为正 第三象限全负 第四象限横坐标为正 纵坐标为负 即一三同号 二四异号 2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗 提示 不一定 伸缩变换对原点的位置没有影响 但是会改变除原点外的点的坐标和位置 但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限 归纳总结 1 平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系是确定点的位置 刻画方程的曲线形状和位置的平台 建立平面直角坐标系 常常利用垂直直线为坐标轴 充分利用图形的对称性等特征 2 伸缩变换的类型与特点伸缩变换包括点的伸缩变换 以及曲线的伸缩变换 曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化 通
4、过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系 特别提醒 实数与数轴上的点是一一对应的 所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置 类型一坐标法求轨迹方程 典例 已知 ABC的边AB长为2a 若BC的中线为定长m 求顶点C的轨迹方程 解题探究 求轨迹方程的一般步骤是什么 提示 建系 设点 列条件 得方程 整理 解析 由题意 以线段AB的中点为原点 AB边所在的直线为x轴建立直角坐标系 如图所示 则A a 0 B a 0 设C x y 则线段BC的中点为因为 AE m 所以 化简得 x 3a 2 y2 4m2 由于点C在直线AB上时 不能构成三角形 故去掉曲线与x轴的两个交点 从而所求的轨迹方程是
5、 x 3a 2 y2 4m2 y 0 建系不同 轨迹方程不同 方法技巧 1 建立平面直角坐标系的技巧 1 如果平面几何图形有对称中心 可以选对称中心为坐标原点 2 如果平面几何图形有对称轴 可以选择对称轴为坐标轴 特别提醒 建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上 2 运用解析法解决实际问题的步骤 1 建系 建立平面直角坐标系 建系原则是利于运用已知条件 使表达式简明 运算简便 因此 要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴 2 建模 选取一组基本量 用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程 3 运算 通过运算 得到所需要的结果 4 回归 回归到实际问题作答 变式训练 1 已知点 5
6、m 3 2m 不在第四象限 求实数m的取值范围 解析 若点 5 m 3 2m 在第四象限 则5 m 0 且3 2m 0 解得 m 5 故点 5 m 3 2m 不在第四象限时 实数m的取值范围是m 或m 5 2 四边形ABCD为矩形 P为矩形ABCD所在平面内的任意一点 求证 PA2 PC2 PB2 PD2 证明 如图所示 以A为原点 AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴 建立平面直角坐标系 设A 0 0 B a 0 C a b D 0 b P x y 则PA2 x2 y2 PB2 x a 2 y2 PC2 x a 2 y b 2 PD2 x2 y b 2 所以PA2 PC2 2x2 2y2
7、2ax 2by a2 b2 PB2 PD2 2x2 2y2 2ax 2by a2 b2 故PA2 PC2 PB2 PD2 类型二伸缩变换公式与应用 典例 求曲线x2 y2 1经过 变换后得到的新曲线的方程 解题探究 如何求变换后的新曲线的方程 提示 将x y表示出来 代入到原方程即可得到新曲线的方程 解析 曲线x2 y2 1经过 变换后 即代入到圆的方程 可得即所求新曲线的方程为 延伸探究 1 若曲线C经过变换后得到圆x2 y2 1 求曲线C的方程 解析 将代入到方程x 2 y 2 1 得即曲线C的方程 2 若圆x2 y2 1经过变换 后得到曲线求变换 的坐标变换公式 解析 设 代入到C 中得
8、与圆的方程比较得 5 4 故 的变换公式为 方法技巧 与伸缩变换相关问题的处理方法 1 已知变换前的曲线方程及伸缩变换 求变换后的曲线方程的方法 利用伸缩变换用 x y 表示出 x y 代入变换前的曲线方程 2 已知变换后的曲线方程及伸缩变换 求变换前的曲线方程 利用伸缩变换用 x y 表示 x y 代入变换后的曲线方程 3 已知变换前后的曲线方程求伸缩变换 将变换前后的方程变形 确定出 x y 与 x y 的关系即为所求的伸缩变换 也可用待定系数法 补偿训练 1 2016 蚌埠高二检测 在同一平面直角坐标系中 经过伸缩变换后 曲线C变为曲线x 2 y 2 1 则曲线C的方程为 解析 选B 设
9、曲线C上任意一点的坐标为P x y 按 变换后的对应的坐标为P x y 代入x 2 y 2 1 得16x2 9y2 1 2 将曲线y sin 2016x 按 变换后的曲线与直线x 0 x y 0围成图形的面积为 解析 设曲线y sin 2016x 上任意一点的坐标为P x y 按 变换后的对应点的坐标为P x y 由 代入y sin 2016x 得2y sinx 所以y sinx 即y sinx 所以y sinx与直线x 0 x y 0围成图 形的面积为S 答案 1 自我纠错伸缩变换公式的应用 典例 将曲线按照 变换为曲线求曲线y cos4x在 变换后的曲线的最小正周期与最大值 失误案例 分析
10、解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 出错的根本原因是弄错了变换顺序 错误代入方程 正确解答过程如下 解析 由 得 将曲线按照 变换为曲线的方程为 由题意 得3 1 故 2 则曲线y cos4x在 变换后的曲线的方程为所以变换后的曲线的最小正周期为 最大值为 现代人每天生活在纷繁 复杂的社会当中 紧张 高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光 人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫 然而 如果你细心观察 你会发现作为现代人 其实人们每天都在尽可能的放松自己 调整生活节奏 追求充实快乐的人生 看似纷繁的社会里 人们的生活方式其实也不复杂 大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣 由此我悟出一个道理
11、 那就是 生活简单就是幸福 生活简单就是幸福 一首优美的音乐 一支喜爱的歌曲 会让你心境开朗 你可以静静地欣赏你喜爱的音乐 可以在流荡的旋律中回忆些什么 或者什么都不去想 你可以一个人在房间里大声的放着摇滚 也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享 你还可以一边放送着音乐 一边做着家务 生活简单就是幸福 一杯清茶 或一杯咖啡 放在你的桌边 你的心情格外的怡然 你可以浏览当天的报纸 了解最新的国内外动态 哪怕是街头趣闻 或者捧一本自己喜欢的杂志 小说 从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦 生活简单就是幸福 经过精心的烹制 一桌可心的菜肴就在你的面前 你招呼家人快来品尝 再备上最喜欢的美酒 这是多么
12、难得的享受 生活简单就是幸福 春暖花开的季节 或是清风送爽的金秋 你和家人一起 或是朋友结伴 走出户外 来一次假日的郊游 享受大自然带给你的美丽 芬芳 吸一口新鲜的空气 忘却都市的喧嚣 身心仿佛受到一番洗涤 这是一种什么样的轻松感受 生活简单就是幸福 你参加朋友们的一次聚会 那久违的感觉带给你温馨和激动 在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情 朋友 是那样的弥足珍贵 生活简单就是幸福 周末的夜晚 一家老小围坐在电视机旁 尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活 越来越会用各种不同的方式来放松自己 垂钓 上网 打牌 玩球 唱卡拉OK 下棋 不一而足 人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式 在相对固定
13、的社交圈子里怡然的生活 而且不断的扩大交往的圈子 结交新的朋友有时 你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比 有时 你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰 有时 你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜 有时 你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福 生活简单就是幸福 不意味着我们放弃了对目标的追逐 是在忙碌中的停歇 是身心的恢复和调整 是下一步冲刺的前奏 是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的 战斗 的一个 驿站 生活简单就是幸福 不意味着我们放弃了对生活的热爱 是于点点滴滴中去积累人生 在平平淡淡中寻求充实和快乐 放下沉重的负累 敞开明丽的心扉 去过好你的每一天 生活简单就是幸福
14、 我的心徜徉于春风又绿的江南岸 纯粹 清透 雀跃 欣喜 原来 真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心 人到中年 初心依然 纯真依然 情怀依然 幸甚至哉 生而为人 芳华刹那 真的不必太多要求 一盏茶 一本书 一颗笃静的心 三两心灵知己 兴趣爱好一二 足矣 亦舒说 什么叫做理想生活 不用吃得太好穿得太好住得太好 但必需自由自在 不感到任何压力 不做工作的奴隶 不受名利的支配 有志同道合的伴侣 活泼可爱的孩子 丰衣足食 已经算是理想 时间如此猝不及防 生命如此仓促 忠于自己的内心才是真正的勇敢 以不张扬的姿态 将自己活成一道独一无二的风景 才是最大的成功 试问 你有多久没有靠在门槛上看月亮了 你有多
15、久没有在家门口的那棵大树下乘凉了 你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了 你又有多久没有审视自己的内心了 与命运的较量中 我们被迫前行 却忘记了来时的方向 我们习惯了飞翔 却成了无脚的鸟 年轻时我们并不了解自己 不知道自己需要什么 不知道什么才是自己最想要的 什么才是最适合自己的 自己又是怎么样的一个人 时光叠加 沧桑有痕 终究懂得 漫漫人生路 得失爱恨别离 不过是生命的常态 原来 人生最曼妙的风景 就是那颗没被俗世河流污染的初心 大千世界 有很多的东西可以去热爱 或许一株风中摇曳的小草 一朵迎风招展的小花 一条弯弯曲曲的小河 都足够让我们触摸迷失的初心 紫陌红尘 芸芸众生 皆是过客 若时光
16、允许 我愿意一生柔软 爱了樱桃 爱芭蕉 静守于轮回的渡口 揣一颗云水禅心 将寂寞坐断 将孤独守成一帧最美的山水画卷 一直渴盼着 与心悦的人相守于古朴的小院 守着老旧的光阴 只闻花香 不谈悲喜 读书喝茶 不争朝夕 阳光暖一点 再暖一点 日子慢一些 再慢一些 从容而优雅地老去 浮生荡荡 阳春白雪 触目横斜千万朵 赏心不过两三枝 任凭弱水三千 只取一瓢饮 有梦的季节 有爱的润泽 走过的日子 都会成为笔尖温润如玉的诗篇 相信越是走到最后 剩下的唯有一颗向真向善向美的初心 似水流年 如花美眷 春潮带雨晚来急 野渡无人舟自横朝花夕拾 当回望过往 你是此生无憾 还是满心懊悔呢 随着芳华的流逝 我们终究会明白 任何的财富都比不上精神上的愉悦 任何的快感都不及对初心的执着 愿你不趋炎附势 不阿谀奉迎 不苟且偷生 不虚掷有限的年华 活出属于自己的风采 活在每一个当下 不忘初心 不负今生曾经有人说 成大事者必经以下三种境界 昨夜西风凋碧树 独上高楼 望尽天涯路 此第一境界也 衣带渐宽终不悔 为伊消得人憔悴 此第二境界也 众里寻他千百度 蓦然回首 那人却在灯火阑珊处 此第三境界也 我想说的是 事无大小 只要你
