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1、2010-2011学年第二学期浙东北(ZDB)三校期中考试高二数学试卷(理科)总分100分 考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题,每题3分,共36分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,不选、多选、错选均得零分)1若复数为纯虚数,则实数等于( )A或 B C或 D2已知物体时运动的位移的方程为:,则物体在时的瞬时速度为( )A B C D 3设实数满足,则中( )A至多有一个不大于1 B至少有一个不小于1 C至多有两个不小于1 D至少有两个不小于14若函数,则函数图象在点处的切线方程为( )A B CD5将标号为1,2,8的8个球放入标号为1,2,8的8个盒子内,每个盒内放
2、一个球,则恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有( )种 A B C D6函数在上的最大值和最小值分别为( )A B C D7下列求导数运算正确的是( )A BC D8用数学归纳法证明等式,从到,左边需要增加的代数式为( ) 9若函数的图象经过四个象限,则实数的取值范围是( )A,或 BC,或 D,或10函数在下面哪个区间内是增函数( )11题图A B C DABACD11已知函数的图象如右图所示(其中为函数的导函数),则函数的图象大致是( )12设集合选择集合的两个非空子集A和B,要使集合B中最小的数大于集合A中最大的数,则不同的选择方法共有( )A48种 B49种 C50
3、种 D51种二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分,请将答案写在答卷上)13在高台跳水运动中,运动员相对于水面高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)的函数关系是:,则运动员在这段时间里,他的平均速度= 14若数列、都是等差数列,则数列、均为等差数列类比上述性质,若数列、都是等比数列,则数列 均为等比数列15电视台连续播放7个广告,其中含4个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则不同的播放方式共有 种16若复数, ,且为实数,则实数a的值为 17点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离为 18已知集合,集合,若集合只含有一个元素,则实数的取值范围是 三、解答题(
4、本大题共6小题,共46分,请将解答过程写在答卷上)19(本题6分)5个不同的球全部放入4个不同的盒子内(1)共有几种不同的放法?(2)每个盒子都有球,共有几种不同的放法?(3)恰有一个盒子不放球,共有几种不同的放法?20(本题6分)46已知一长方形纸片,它长与宽分别为6和4,现将纸片的四角截去四个边长均为的小正方形,然后做成无盖长方体盒子(1)试把长方体盒子的容积表示为的函数;(2)多大时,长方体盒子的容积最大?21(本题8分)设函数,(1)求,的表达式;(2)猜想的表达式,并用数学归纳法证明22(本题8分)已知函数(1)设函数,若的极值存在,求实数的取值范围;(2)设是正数组成的数列,前项和
5、为,其中若点在函数的图象上,求证:点也在的图象上23(本题8分)已知函数在处取得极值,并且它的图象与直线在点处相切(1)求函数的解析式;(2)过点是否存在另一条与曲线相切的直线若存在,则求出此切线的方程;若不存在,则说明理由24(本题10分)已知函数 (为实常数)(1)若,求证:函数在上是增函数; (2)求函数在区间上的最小值及相应的值;(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围2010-2011学年第二学期浙东北(ZDB)三校期中考试高二数学参考答案(理科)一、选择题(本大题共12小题,每题3分,共36分)1D; 2B; 3B; 4A; 5A;6C; 7C; 8B; 9D; 10D;11A;
6、12B;二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)13; 14、; 15720;16; 17; 18;三、解答题(本大题共6小题,共46分)21解:(1), 2分(2)猜想: 3分证明:当时,左边;右边左边=右边,等式成立; 4分假设时,等式成立,即,则当时 5分 当时,等式也成立; 7分由、可知,对任意都成立8分23解:(1),由题意,即,解得:,; 3分(2)假设存在,设过点的切线和曲线相切于点,则切线方程为,因点在切线上,故,2是方程的根,2或,另一切线的斜率,切线方程为,过点存在另一条与曲线相切的直线,切线方程为8分24解:(1)当时,又,故函数在上是增函数 2分(2),而时,当
7、,即时,(仅当时,),故函数在上为增函数,此时当,且,即时,令得,()时,;时,当,即时,(仅当时,),故函数在上为减函数,此时综上可知,当时,函数的最小值为1,相应的值为1;当时,函数的最小值为,相应的值为;当时,函数的最小值为,相应的值为 6分(3)法一:由不等式,即,化为,且等号不能同时取到,所以,即,()令(),又,从而,仅当时取等号,所以在上为增函数,故的最小值为,所以的取值范围是 10分(3)法二:设,则, ,当,即时,在上为增函数,由题意,解得,;当,即时,若,则,在上为减函数;若,则,在上为增函数;,由题意,因为,所以式恒成立,;当,即时,在上为减函数,由题意,解得,因为,;综上所述:的取值范围是 10分- 8 -