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1、1 8 2020 届高中毕业班第届高中毕业班第二二次统一检测题次统一检测题 理科数学理科数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一 选择题一 选择题 题号123456789101112 答案DBDBBCBCCAAB 二 填空题二 填空题 13 2 14 1 或4 15 2 3 3 16 68 三 解答题三 解答题 17 本小题满分 本小题满分 10 分 分 解 1 由sinsinsinsinbBaCaAcC 及正弦定理 可得 222 bacac 2 分 由余弦定理可得 22222 1 cos 222 acbbacb B acac 4 分 又因为 0 B 所以 3 B 6 分 2 因为 113
2、3 sin 2224 ABC SacBa 8 分 所以1a 9 分 又因为1 3 acB 所以ABC 是等边三角形 所以 3 C 12 分 18 本小题满分 本小题满分 12 分 分 1 由频率分布直方图可得 12160 290 1120 80 6826PX 1 分 10180 040 290 11 0 0320 940 9544PX 2 分 8200 0050 040 290 11 0 030 01520 980 9744PX 3 分 由上述可知 符合 不符合 故该生产线需要检修 5 分 2 由 1 知 47 220 94 50 PX 2 8 所以从该生产线加工的产品中任意抽取一件次品的概率
3、为 3 0 06 50 且 3 2 50 YB 7 分 所以 2 472209 0 502500 P Y 1 2 473282141 1 505025001250 P YC 2 39 2 502500 P Y 10 分 分布列如下 Y012 P 2209 2500 282 2500 9 2500 220928293 012 25002500250025 EY 或 33 2 5025 EYnP 12 分 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 1 证明 连接AC交BD于G 则G是AC的中点 连接EG 1 分 则EG是PAC 的中位线 所以 PAEG 2 分 有因为 PAEDB EGEDB 面
4、面 所以 PA平面EDB 4 分 2 法一 如图以D为原点 DA DC DP 方向分别为x轴 y轴 z轴 正半轴建立空间直角坐标系 设DAa 则 0 0A a 1 0B a 0 1 0C 0 0 1P 1 1 0 2 2 E 1 1PBa 设 PFtPBat tt 则 1F at tt 1 1 2 2 EFat tt 3 8 又EFPB 即 0EF PB 解得 2 1 2 t a 6 分 设 nx y z 是平面DEF的一个法向量 则 0 0 n DE n DF 即 0 22 10 yz atxtyt z 方程的一组解为 21 1 1 t x at y z 8 分 显然DP 是面ABCD的一个
5、法向量 依题意有 2 11 cos 32 21 1 1 DP n DP n t at 得 2 21 2 t at 结合 式得 2a 10 分 因为PD 底面ABCD 所以PAD 是PA与面ABCD所成的角 3 sin 3 PD PAD PA 12 分 2 法二 如图以D为原点 DA DC DP 方向分别为x轴 y轴 z轴正半轴建立空间 直角坐标系 设DAa 则 0 0A a 1 0B a 0 1 0C 0 0 1P 1 1 0 2 2 E 1 1PBa 因为0PB DE 所以PBDE 6 分 又因为EFPB EFDEE 所以PB 面DEF 所以PB 是平面DEF的一个法 向量 8 分 显然DP
6、 是面ABCD的一个法向量 依题意有 2 11 cos 32 1 1 DP PB DP PBa 解得 2a 10 分 因为PD 底面ABCD 所以PAD 是PA与面ABCD所成的角 3 sin 3 PD PAD PA 12 分 4 8 2 法三 因为PD 面ABCD BCABCD 面 所以PDBC 又 BCCD CDPDD 所以BCPCD 面 又DEPCD 面 所以DEBC 因为PDCD E是PC的中点 所以DEPC 6 分 所以DEPBC 面 所以DEPB 又因为EFPB EFDEE 所以PB 面DEF 所以PB 是平面DEF的一个法 向量 8 分 显然DP 是面ABCD的一个法向量 依题意
7、有 2 11 cos 32 1 1 DP PB DP PBa 解得 2a 10 分 因为PD 底面ABCD 所以PAD 是PA与面ABCD所成的角 3 sin 3 PD PAD PA 12 分 20 本小题满分 本小题满分 12 分 分 解 1 依题意可得 2 2 2 c b a 所以 2222 222 21 2 caba aaa 得2a 所以椭圆的方程是 22 1 42 xy 3 分 2 法一 设 11 A x y DD D xy 则 11 Bxy 1 0 E x 直线BE的方程为 1 1 1 2 y yxx x 4 分 与 22 1 42 xy 联立得 222 2 111 2 11 140
8、 22 yyy xx xx 6 分 因为 D x 1 x 是方程的两个解 所以 2 1 2 2 1 11 22 2 11 1 2 1 4 8 2 2 1 2 D y y xxx xyy x 7 分 又因为 22 11 1 42 xy 5 8 所以 2 1 1 2 1 8 38 D y xx y 代入直线方程得 3 1 2 1 38 D y y y 9 分 3 1 1 22 111 22 111 11 2 1 3824 1 8 38 ABAD y y yyy kk yxx xx y 11 分 所以ABAD 即ABD 是直角三角形 12 分 2 法二 设 11 B x y 22 D xy 则 11
9、 Axy 1 0 Ex 设直线BD的方程为ykxm 4 分 与 22 1 42 xy 联立得 222 124240kxkmxm 6 分 12 2 4 1 2 km xx k 7 分 21 21 212112 21 2 AD kxmkxmyym kk xxxxxxk 9 分 1 1 2 BE y kk x 1 1 2 AB y kk x 10 分 所以 1 ABAD kk 11 分 所以ABAD 即ABD 是直角三角形 12 分 2 法三 设 11 B x y 22 D xy 则 11 Axy 1 0 Ex 设 1 1 2 BDBE y kkk x 则 1 1 2 AB y kk x 5 分 2
10、2 212121 22 212121 ADBD yyyyyy kk xxxxxx 因为 11 B x y 22 D xy在椭圆上 满足椭圆方程 所以 2222 2121 22 22 21 21 1 24242 ADBD yyyy kk xxyy 9 分 所以 1 2 AD k k 10 分 6 8 所以 1 ABAD kk 11 分 所以ABAD 即ABD 是直角三角形 12 分 21 本小题满分 本小题满分 12 分 分 解 1 2 211 222 axaxa fxxa xx 1 分 令 2 1g xxaxa 当 2 410aa 时 即22 222 2a 时 0g x 恒成立 所以 f x的
11、单调增区间是 0 无减区间 2 分 当 2 410aa 时 即22 2a 或22 2a 设 g x的两个零点为 2 1 44 2 aaa x 2 2 44 2 aaa x 若22 2a 因为 1212 0 10 xxax xa 所以 12 x x都大于 0 所以当 1 0 xx 时 0g x f x单调递增 当 12 xx x 时 0g x f x单调递减 当 2 xx 时 0g x f x单调递增 3 分 若22 2a 12 0 xxa 当 12 10 x xa 即122 2a 时 12 x x都不为 正数 所以当 0 x 时 0g x f x单调递增 4 分 当 12 10 x xa 时
12、即1a 时 12 0 xx 所以当 2 0 xx 时 0g x f x单调递减 当 2 xx 时 0g x f x单调递增 5 分 综上所述 当1a 时 f x的单调递减区间为 2 44 0 2 aaa f x的单调递 增区间为 2 44 2 aaa 7 8 当122 2a 时 f x的单调增区间是 0 无减区间 当22 2a 时 f x的单调递减区间为 22 4444 22 aaaaaa f x的单调递增区间为 2 44 0 2 aaa 2 44 2 aaa 6 分 2 不妨设 21 0 xx 要证明 12 12 2 f xf x xx 只需证明 1212 22f xf xxx 只需证明 1
13、122 22f xxf xx 令 2 22121 lnh xf xxxaxax 8 分 211 22142121 21 aa hxxaxaaa xx 因为13a 所以012a 0hx 11 分 h x在 0 是增函数 所以 21 0 xx 时 21 h xh x 即 1122 22f xxf xx 12 分 22 本小题满分 本小题满分 10 分 分 解 1 当 2 a 时 l的普通方程为1x 1 分 当 2 a 时 l的普通方程为 2tan1yx 即 tan2tan0 xy 或者直接得出 sincossin2cos0 xy 3 分 由 2 4 1 3cos 得 222222 3cos316x
14、yx 即 22 1 416 xy 5 分 2 将 1cos 2sin xt yt 代入 22 1 416 xy 整理得 22 1 3cos8cos4sin80tt 7 分 8 8 依题意得 12 0tt 即 2 8cos4sin 0 1 3cos 即8cos4sin 0 9 分 得tan2 直线l的斜率为2 10 分 23 本小题满分 本小题满分 10 分 分 解 1 原不等式等价于113xx 当1x 时 可得113xx 得 3 2 x 1 分 当11x 时 可得113xx 得23 不成立 2 分 当1x 时 可得113xx 得 3 2 x 3 分 综上所述 原不等式的解集为 33 22 x xx 或 5 分 2 111 f xxaxaa aaa 7 分 当且仅当 1 0 xax a 时等号成立 8 分 又 11 22aa aa 当且仅当1a 的时等号成立 所以 2f x 10 分
