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1、山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学必修二学案：1-3-1柱体锥体台体的表面积学习要求1通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法；2了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题；3培养空间想象能力和思维能力 学法指导通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心1棱柱、棱锥、棱台是由多个 围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的 2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 3旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底 侧面积：S侧
2、表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底 侧面积：S侧 表面积：S 圆台上底面面积：S上底 下底面面积：S下底 侧面积：S侧 表面积：S 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积问题1在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？答正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面积如下图所示问题2几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，棱台的侧面展开图是怎样的？如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？答如下图所示，只需求出各个展开图中的各部分平面图形的面积，然后求和即
3、可例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积分析由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍解先求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D. 因为BCa，SDa.所以SSBCBCSDaaa2.因此，四面体SABC的表面积S4a2a2.小结在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用例 已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥SABCD，求它的表面积解四棱锥SABCD的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形设E为AB的中点，则SE
4、AB.S侧4SSAB4ABSE2525.S表面积S侧S底252525(1)例 已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积解如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O12.连接OE、O1E1，则OEAB126，O1E1A1B13.过E1作E1HOE，垂足为H，则E1HO1O12，OHO1E13，HEOEO1E1633.在RtE1HE中，E1E2E1H2HE2122323217，所以E1E3.所以S侧4(B1C1BC)E1E2(126)3108.小
5、结解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决跟踪训练在上例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？解如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P. 取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1A1B13，OEAB6，则有，即.所以PO1O1O12.在RtPO1E1中，PEPOO1E122323217，PE2PO2OE2242626217，所以E1EPEPE1633.S侧
6、=所以E1EPEPE12(12+6)3108.例 将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为（ ），表面积增加了()A6a2B12a2C18a2 D24a2答案C，B解析原来正方体表面积为S16a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为62a2，总表面积S227a218a2，增加了S2S112a2.例 (2010福建文，3)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()A. B2 C2 D6答案D解析原几何体是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，则S侧3216.例 棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成12(从顶点
7、到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A19 B18 C14 D13答案B解析两个锥体的侧面积之比为19，小锥体与台体的侧面积之比为18，故选B.例 四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是()A. B. C. D.答案C解析由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h，则根据条件得，消去h得，4z2(xy)2(yx)2(yx)2(x2y2)2.4z2(xy)24x2y2，z(xy)xy，.例 已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，O为上底面A1B1C1D1的中心，E为
8、棱A1B1上一点，则AEEO的长度的最小值是_答案a解析将正方体一部分展开如图，AEEO在A、O、E三点共线时取最小值AOa.例 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD2，CC11，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，求绳子的最短长度解析绳子的最短长度有三种情况，如下图：图(1)是将面ABB1A1与A1B1C1D1展开，AC13；图(2)是由A经过面ABB1A1和BCC1B1到C1，AC1；图(3)是由A经过面ABCD和BCC1B1到C1，AC12.比较上述三种情况知，AC1最小为3.点评(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线AC1是最短线路(2)解答多面体表面上两点间最
9、短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长例 底面为正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥称作正棱锥，其侧面等腰三角形的高称作棱锥的斜高，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30，如图所示，求正四棱锥的侧面积和表面积解析正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成RtPOE.OE2cm，OPE30，hPE4cm，因此S侧ch(44)432(cm2)，S表面积S侧S底321648(cm2)例 已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积(单位：cm)解析几何体的直观图如图这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜
10、高h2，其表面积S4244244816 cm2.例 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A2 B3
11、C6 D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b，c，则对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 所有棱长为1的三棱锥的全面积为_解析S41.例 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB ，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，求以A、(B)、C、D、O为顶点的四面体的全面积和体积【解析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，斜高为2，高为，所以该四面体的全面积为3(42)42124，体积为16.【答案】124，例 （2012安徽文数）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积
12、是（A）372 （B）360 （C）292 （D）280答案：B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。二、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法问题1如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？答圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)，设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则有：S圆柱侧2rl，S圆柱表2r(rl)，其中r为圆柱底面半径，
13、l为母线长问题2如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？答圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形面积为2rlrl，S圆锥侧rl，S圆锥表r(rl)，其中r为圆锥底面圆半径，l为母线长问题3如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积？答圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，如右图，解得：xl.S扇环S大扇形S小扇形(xl)2Rx2r(Rr)xRl(rR)l，所以，S圆台侧(rR)l，S圆台表(r2rlRlR2)问题4圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？答如下图所示：S柱2r(rl)S台(r2r2rlrl)S锥r(rl)例3一圆台形花盆，盆口直径20 cm，盆底直径15 cm，底部渗水圆孔直径1.5 cm，盆壁长15 cm.为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多
