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1、第九章 相量法 第九章相量法 教学重点1 了解复数的各种表达式和相互转换关系 掌握复数的四则运算 2 掌握正弦量的复数表示法 以及复数 相量 形式的欧姆定律 3 掌握运用相量法分析计算阻抗串 并联的正弦交流电路 教学难点1 掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换 2 掌握运用相量法分析计算正弦交流电路 学时分配 第九章相量法 第一节复数的概念 第二节复数的四则运算 第三节正弦量的复数表示法 第四节复数形式的欧姆定律 第五节复阻抗的连接 本章小结 第一节复数的概念 一 虚数单位 二 复数的表达式 一 虚数单位 图9 1在复平面上表示复数 参见图9 1给出的直角坐标系复数平面 在这个复数平
2、面上定义虚数单位为 即j2 1 j3 j j4 1 虚数单位j又叫做90 旋转因子 二 复数的表达式 图9 1在复平面上表示复数 一个复数Z有以下四种表达式 1 直角坐标式 代数式 Z a jb 式中 a叫做复数Z的实部 b叫做复数Z的虚部 在直角坐标系中 以横坐标为实数轴 纵坐标为虚数轴 这样构成的平面叫做复平面 任意一个复数都可以在复平面上表示出来 例如复数A 3 j2在复平面上的表示如图9 1所示 图9 1在复平面上表示复数 2 三角函数式 在图9 1中 复数Z与x轴的夹角为 因此可以写成Z a jb Z cos jsin 式中 Z 叫做复数Z的模 又称为Z的绝对值 也可用r表示 即 叫
3、作复数Z的辐角 从图9 1中可以看出 复数Z的实部a 虚部b与模 Z 构成一个直角三角形 3 指数式 利用欧拉公式 可以把三角函数式的复数改写成指数式 即Z Z cos jsin Z ej 4 极坐标式 相量式 复数的指数式还可以改写成极坐标式 即Z Z 以上这四种表达式是可以相互转换的 即可以从任一个式子导出其他三种式子 例9 1 将下列复数改写成极坐标式 1 Z1 2 2 Z2 j5 3 Z3 j9 4 Z4 10 5 Z5 3 j4 6 Z6 8 j6 7 Z7 6 j8 8 Z8 8 j6 2 Z2 j5 5 90 j代表90 旋转因子 即将 5 逆时针旋90 3 Z3 j9 9 90
4、 j代表 90 旋转因子 即将 9 作顺时针旋转90 4 Z4 10 10 180 或10 180 号代表 180 1 Z1 2 2 0 解 利用关系式Z a jb Z arctan 计算如下 5 Z5 3 j4 5 53 1 6 Z6 8 j6 10 36 9 7 Z7 6 j8 6 j8 10 53 1 10 180 53 1 10 126 9 8 Z8 8 j6 8 j6 10 36 9 10 180 36 9 10 143 1 解 利用关系式Z Z Z cos jsin a jb计算 例9 2 将下列复数改写成代数式 直角坐标式 1 Z1 20 53 1 2 Z2 10 36 9 3
5、Z3 50 120 4 Z4 8 120 1 Z1 20 53 1 20 cos53 1 jsin53 1 20 0 6 j0 8 12 j16 2 Z2 10 36 9 10 cos36 9 jsin36 9 10 0 8 j0 6 8 j6 3 Z3 50 120 50 cos120 jsin120 50 0 5 j0 866 25 j43 3 4 Z4 8 120 8 cos120 jsin120 8 0 5 0 866 4 j6 928 第二节复数的四则运算 设Z1 a jb Z1 Z2 c jd Z2 复数的运算规则为 1 加减法Z1 Z2 a c j b d 2 乘法Z1 Z2 Z
6、1 Z2 3 除法 4 乘方 n 例9 3 已知Z1 8 j6 Z2 3 j4试求 1 Z1 Z2 2 Z1 Z2 3 Z1 Z2 4 Z1 Z2 解 1 Z1 Z2 8 j6 3 j4 11 j2 11 18 10 3 2 Z1 Z2 8 j6 3 j4 5 j10 11 18 63 4 3 Z1 Z2 10 36 9 5 53 1 50 16 2 4 Z1 Z2 10 36 9 5 53 1 2 90 第三节正弦量的复数表示法 正弦量可以用复数表示 即可用最大值相量或有效值相量表示 但通常用有效值相量表示 其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模 用初相角作为复数相量的辐角 正弦电流i
7、 Imsin t i 的相量表达式为 I i 正弦电压u Umsin t u 的相量表达式为 U u 例9 4 把正弦量u 311sin 314t 30 V i 4 24sin 314t 45 A用相量表示 解 1 正弦电压u的有效值为U 0 7071 311 220V 初相 u 30 所以它的相量为 U u 220 30 V 2 正弦电流I的有效值为I 0 7071 4 24 3A 初相 i 45 所以它的相量为 I i 3 45 A 解 u sin t 37 V i 5sin t 60 A 例9 5 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达示 设角频率均为 1 120 37 V 2 5 60
8、A 解 首先用复数相量表示正弦量i1 i2 即 I1 3 30 A 3 cos30 jsin30 2 598 j1 5AI2 4 60 A 4 cos60 jsin60 2 j3 464A 然后作复数加法 I1 I2 4 598 j1 964 5 23 1 A 最后将结果还原成正弦量 i1 i2 sin t 23 1 A 例9 6 已知i1 sin t 30 A i2 4sin t 60 A 试求 i1 i2 第四节复数形式的欧姆定律 一 复数形式的欧姆定律 二 电阻 电感和电容的复阻抗 一 复数形式的欧姆定律 定义复阻抗为 Z 其中为阻抗大小 u i为阻抗角 即电压u与电流i的相位差 则复数
9、形式的欧姆定律为 图9 2复数形式的欧姆定律 图9 2所示为复数形式的欧姆定律的示意图 二 电阻 电感和电容的复阻抗 1 电阻R的复阻抗 ZR R R 0 2 电感L的复阻抗 ZL XL 90 jXL j L 3 电容C的复阻抗 ZC XC 90 jXC 第五节复阻抗的连接 一 阻抗的串联 二 阻抗的并联 一 阻抗的串联 图9 3阻抗串联电路 如图9 3所示阻抗串联电路 n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗 Z Z1 Z2 Zn 例如RLC串联电路可以等效一只阻抗Z 根据ZR R ZL jXL ZC jXC 则 即Z Z 其中电抗X XL XC 阻抗大小为 为阻抗角 代表路端电压u与电流i的相位
10、差 即 例9 7 在RL串联电路中 已知 R 3 L 12 7mH 设外加工频电压sin 314t 30 V 试求 电阻和电感上的电压瞬时值uR uL 解 等效复阻抗Z ZR ZL R jXL R j L 3 j4 5 53 1 其中XL 4 正弦交流电压u的相量为220 30 V 电路中电流相量为 30 53 1 44 23 1 A 电阻上的电压相量和瞬时值分别为 132 23 1 V 电感上的电压相量和瞬时值分别为 176 90 23 1 176 66 9 V 二 阻抗的并联 阻抗并联电路如图9 4所示 图9 4阻抗串联电路 n只阻抗Z1 Z2 Zn并联电路 对电源来说可以等效为一只阻抗
11、即 即等效复阻抗Z的倒数 等于各个复阻抗的倒数之和 为便于表达阻抗并联电路 定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳 用符号Y表示 即 导纳Y的单位为西门子 S 于是有Y Y1 Y2 Yn即几只并联导纳的等效导纳Y等于所有导纳之和 欧姆定律的相量形式为 例9 8 两个复阻抗分别是Z1 10 j20 Z2 10 j10 并联后接在的交流电源上 试求 电路中的总电流I和它的瞬时值表达式i 解 由Z1 10 j20 可得 由Z2 10 j10 可得 即Z1 10 j20 22 36 63 4 Z2 10 j10 14 14 45 由 可得并联后的等效复阻抗为 于是总电流的相量 即I 15 6A 总电流瞬时值表达
12、式为 本章小结 本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压 电流 阻抗 并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路 一 复数及其运算法则 二 正弦量的复数表示法 三 欧姆定律与复阻抗 一 复数及其运算法则 1 复数的表达式 1 直角坐标式 代数式 Z a jb 2 三角函数式 3 指数式 Z Z ej 4 极坐标式 相量式 Z Z 2 复数的运算法则 设Z1 a jb Z1 Z2 c jd Z1 1 加减法 Z1 Z2 a c j b d 2 乘法 Z1 Z2 Z1 Z2 Z1 Z2 3 除法 4 乘方 n 二 正弦量的复数表示法 正弦交流电流i Imsin t i 的相量表达式为 I i 正弦交流电压u Umsin t u 的相量表达式为 U u 三 欧姆定律与复阻抗 1 复数形式的欧姆定律 2 电阻R的复阻抗ZR R R 0 3 电感L的复阻抗ZL XL 90 jXL j L 4 电容C的复阻抗 ZC XC 90 jXC 5 阻抗的串联 n个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗 Z Z1 Z2 Zn 6 阻抗的并联 n只阻抗Z1 Z2 Zn并联可以等效为一只复阻抗Z 定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳 用符号Y表示 即 于是Y Y1 Y2 Yn
