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1、安徽宿城一中安徽宿城一中 20192019 届高三届高三 1212 月质检月质检 数学 理 试卷数学 理 试卷 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 5050 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 lnAx yx 集合 2 1 1 2B 则AB A 1 2 B 1 2C 1 2 D 0 2 对于事件 A P A 表示事件 A 发生的概率 则下列命题正确的是 A如果 P ABP AP B 那么事件
2、 A B 互斥 B如果 1P ABP AP B 那么事件 A B 对立 C 1P ABP AP B 是事件 A B 对立的充要条件 D事件 A B 互斥是 P ABP AP B 的充分不必要条件 3 把函数xsin3xcos x f 的图象向左平移 m 个单位 所得图象关于 y 轴对称 则 m 的最小值为 A 6 5 B 3 2 C 3 D 6 4 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 9B 10 C 11D 23 2 5 对于平面 和共面的两直线m n 下列命题中是真命 题的为 A 若m mn 则 n B 若 m n 则 mn C 若m n 则
3、 mn D 若m n与 所成的角相等 则 mn 6 等比数列 n a中512 1 a 公比 2 1 q 记 12nn aaa 即 n 表示 数列 n a的前n项之积 8 9 10 11 中值为正数的个数是 22 1 3 1 正视图侧视图 俯视图 第 4 题图 A 1B 2C 3D 4 7 设x y均是实数 i 是虚数单位 复数 i 12 xyi i 的实部大于 0 虚部不小于 0 则复数 izxy 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的 设集合 012 SA A A 在S上定义运算 ijk AAA 其中k为i j 被 3 除的余 数 1 2 3i j 则使关系式 0 iji AAAA 成立的有序
4、数对 i j总共有 A 对B 对C 对D 对 9 已知 A B C D E 为抛物线 2 1 4 yx 上不同的五点 抛物线焦点为 F 满足 0FAFBFCFDFE 则 FAFBFCFDFE A5B10C 5 16 D 85 16 10 一支人数是 5 的倍数且不少于 1000 人的游行队伍 若按每横排 4 人编队 最后差 3 人 若按每横排 3 人编队 最后差 2 人 若按每横排 2 人编队 最后差 1 人 则这只游行队伍的 最少人数是 A1025B1035C1045D1055 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 100 分 分 考生注意事项 考生注意事项 请用 0 5 毫米黑色墨水签字笔
5、在答题卡上 作答 在试题卷上答题无效 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分分 把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 11 输入正整数n 2 n 和数据 1 a 2 a n a 如果执行如图 2 的程序框图 输出的s是数据 1 a 2 a n a的平均数 则框图的处理框 中应填写的 是 12 已知函数sin 0 0 yx 为偶 函数 其图象与直线 y 1 的交点的横坐标为 12 x x 若 12 xx 的最小值为p 则 的值为 13 设 0 sincos axx dx 则二项式 6 1 ax x 的展开式中常数项 14
6、 函数 2 2 log 04 270 8 4 33 xx f x xxx 若 a b c d互不相同 且 f af bf cf d 则abcd的取值范围是 15 有以下四个命题 xsin 3 xsiny 2 2 的最小值是 32 已知 10 x 11x x f 则 3 f 4 f 1a 0a a2 logy x a 在 R 上是增函数 函数 6 x2sin 2y 的图象的一个对称中心是 0 12 其中真命题的序号是 把你认为正确命题的序号都填上 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
7、 解答写在解答写在 答题卡上的指定区域内答题卡上的指定区域内 16 本题满分 12 分 1 证明 2 cos 2 sin2sinsin yxyx yx 2 三角形 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 所对的边 若 a b C 成等差数列 求证 2 tantantan 222 ACB 17 本小题 12 分 某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训 以促进教 师的专业发展 每位教师可以选择参加一项培训 参加两项培训或不参加培训 现知全市教 师中 选择心理学培训的教师有 60 选择计算机培训的教师有 75 每位教师对培训项目的 选择是相互独立的 且各人的选择相互之间没有影响
8、1 任选 1 名教师 求该教师选择只参加一项培训的概率 2 任选 3 名教师 记 为 3 人中选择不参加培训的人数 求 的分布列和期望 18 本小题 12 分 如图所示 已知AB为圆O的直径 点D为线段AB上一点 且 1 3 ADDB 点C为圆O上一点 且 3BCAC 点P在圆O所在平面上的正投影为点D PDDB 1 求证 PACD 2 求二面角CPBA 的余弦值 19 本小题 13 分 已知函数 22 ln 1 f xxxa xaR 1 当0a 时 求 f x的最小值 2 当1x 时 0f x 恒成立 求a的取值范围 20 本小题 13 分 数列 n a的各项均为正值 1 1a 对任意 n
9、N 2 12 14 1 log 1 nnnnn aa aba 都成立 1 求数列 n a n b的通项公式 2 当 k 7 且 k N 时 证明 对任意 n N 都有 121 11113 2 nnnnk bbbb 成立 21 本小题 13 分 过椭圆 C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 外一点 A m 0 作一直线 l 交椭圆于 P Q 两点 又 Q 关于 x 轴对称点为 1 Q 连结 1 PQ交 x 轴于点 B 1 若 AQAP 求证 1 BQPB 2 求证 点 B 为一定点 0 2 m a 数学 理 答案数学 理 答案 答案 1 B2 D3 B4C5C6B7A8C9B10C
10、11 i asi s i 1 12 2 2 13 160 14 32 35 15 16 解 1 sinsinsin sin 2222 2sincos5 22 xyxyxyxy xy xyxy 分 2 由正弦定理得sinsin2sinACB 又由 1 可知 2sincos2sin2sin 4sincos 2222 cos2cos coscos3sinsin 222222 1 tantan10 223 ACACACAC BAC ACACACAC AC 分 由余弦定理得 222 22222 2 3321 2 cos 2282 1 tan 323 ac ac acbacac B acacac B B
11、所以 2 tantantan 222 ACB 12 分 17 本小题满分 12 分 解 任选 1 名教师 记 该教师选择心理学培训 为事件A 该教师选择计算机培训 为事 件B 由题设知 事件A与B相互独立 且 0 6P A 0 75P B 1 分 1 任选 1 名 该教师只选择参加一项培训的概率是 1 0 6 0 250 4 0 750 45PP ABP AB 4 分 2 任选 1 名教师 该人选择不参加培训的概率是 0 0 4 0 250 1PP ABP A P B 5 分 因为每个人的选择是相互独立的 所以 3 人中选择不参加培训的人数 服从二项分布 3 0 1 B 6 分 且 3 3 0
12、 10 9 kkk PkC 012 3k 8 分 即 的分布列是 0123 P0 7290 2430 0270 001 10 分 所以 的期望是 1 0 2432 0 0273 0 0010 3E 12 分 或 的期望是 3 0 10 3E 18 解析 法 1 连接CO 由3AD DB 知 点D为AO的中点 又 AB为圆O的直径 AC CB 由 3ACBC 知 60CAB ACO 为等边三角形 从而CD AO 3 分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D PD 平面ABC 又CD 平面ABC PD CD 5 分 由PD AOD 得 CD 平面PAB 又PA 平面PAB PA CD 6 分 注 证
13、明CD 平面PAB时 也可以由平面PAB 平面ACB得到 酌情给分 法 2 AB为圆O的直径 AC CB 在Rt ABC 中设 1AD 由3AD DB 3ACBC 得 3DB 4AB 2 3BC 3 2 BDBC BCAB 则 BDCBCA BCABDC 即CD AO 3 分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D PD 平面ABC 又CD 平面ABC PD CD 5 分 由PD AOD 得 CD 平面PAB 又PA 平面PAB PA CD 6 分 法 3 AB为圆O的直径 AC CB 在Rt ABC 中由 3ACBC 得 30ABC 设 1AD 由3AD DB 得 3DB 2 3BC 由余弦定理
14、得 222 2cos303CDDBBCDB BC 222 CDDBBC 即CD AO 3 分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D PD 平面ABC 又CD 平面ABC PD CD 5 分 由PD AOD 得 CD 平面PAB 又PA 平面PAB PA CD 6 分 法 1 综合法 过点D作DE PB 垂足为E 连接CE 7 分 由 1 知CD 平面PAB 又PB 平面PAB CD PB 又DE CDD P AB D C O E PB 平面CDE 又CE 平面CDE CE PB 9 分 DEC 为二面角C PBA 的平面角 10 分 由 可知 3CD 3PDDB 注 在第 问中使用方法 1 时
15、此处需要设出线段的长度 酌情给分 3 2PB 则 93 2 23 2 PD DB DE PB 在Rt CDE 中 36 tan 33 2 2 CD DEC DE 15 cos 5 DEC 即二面角C PBA 的余弦值为 15 5 12 分 法 2 坐标法 以D为原点 DC DB 和DP 的方向分别为x轴 y 轴和z轴的正向 建 立如图所示的空间直角坐标系 8 分 注 如果第 问就使用 坐标法 时 建系之前先要证明CD AB 酌情给分 设 1AD 由3AD DB 3ACBC 得 3PDDB 3CD 0 0 0 D 3 0 0 C 0 3 0 B 0 0 3 P 3 0 3 PC 0 3 3 PB
16、 3 0 0 CD 由CD 平面PAB 知平面PAB的一个法向量为 3 0 0 CD 设平面PBC的一个法向量为 x y z n 则 0 0 PC PB n n 即 330 330 xy yz 令 1y 则 3x 1z 3 1 1 n 10 分 设二面角C PBA 的平面角的大小为 则 315 cos 5 53 CD CD n n 二面角C PBA 的余弦值为 15 5 12 分 19 解 0a 时 2 ln 2ln1 f xxx fxxx 2 分 1 2 0 xe 时 f x 单调减 1 2 xe 时 f x 单调增 4 分 所以当 1 2 xe 时 f x 有最小值 1 2e 5 分 2 由已知 即 1x 时 min 0f x 6 分 2ln1 2 1fxxxa x 8 分 当1 2 0 a 即 1 2 a 时 0fx 恒成立 所以 f x 单调增 min 1 0f xf 即 1 2 a 时满足 0f x 恒成立 10 分 当120a 即 1 2 a 时 由 0fx 得 1 2 1 a xe 所以 1 2 1 a xe 时 f x 单调减 即 1 2 1 a xe 时 1 0f x
