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1、天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 8 天津一中 2016 2017 2 高二年级数学学科 理科 模块质量调查试卷 本试卷分为第 I 卷 选择题 第 II 卷 非选择题 两部分 共 100 分 考试用时 90 分钟 第 I 卷 1 页 第 II 卷 至 2 页 考生务必将答案涂写在规定的位置上 答在 试卷上的无效 祝各位考生考试顺利 一 选择题 1 设i是虚数单位 则复数 3 2 i i A i B 3i C i D 3i 2 已知函数 f x 的导函数为 fx 且满足 2 1 ln f xxfx 则 1 f A e B 1 C 1 D e 3 设命题 p 2 2 n nN n 则 p
2、 为 A 2 2 n nN n B 2 2 n nN n C 2 2 n nN n D 2 2 n nN n 4 1 a 是 函数 cos f xa xx 在R 上单调递增 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 用数学归纳法证明 1 2 21 3 21 n nnnnn LL 从 k 到 1 k 左端需增乘的代数式为 A 21 k B 2 21 k C 1 1 2 k k D 1 3 2 k k 6 设函数 2 ln f xx x 则 A 1 2 x 为函数 f x 的极大值点 B 1 2 x 为函数 f x 的极小值点 C 2 x 为函数
3、f x 的极大值点 D 2 x 为函数 f x 的极小值点 7 函数 32 f xxbxcxd 图象如图 则函数 2 2 2 log 33 c yxbx 的单调递减区 间为 A 2 B 1 2 C 1 2 2 D 1 2 8 已知函数 32 1 5 3 f xxxax 在区间 1 2 上不单调 则实数a的取值范围是 A 3 B 3 1 C 1 D 31 9 已知 3 3 f xxxm 在区间 0 2 上任取三个数 a b c 均存在以 f af bf c 为边长的三角形 则m的取值范围是 A 2 m B 4 m C 6 m D 8 m 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 8 10 已知
4、函数 2 x f x 2 g xxax aR 对于不相等的实数 12 x x 设 12 12 f xf x m xx 12 12 g xg x n xx 现有如下命题 对于任意不相等的实数 12 x x 都有 0 m 对于任意的a及任意不相等的实数 12 x x 都有 0 n 对于任意的a 存在不相等的实数 12 x x 使得mn 对于任意的a 存在不相等的实数 12 x x 使得mn 其中真命题为 A B C D 二 填空题 11 观察下列各式 00 1 4 C 011 33 4 CC 0122 555 4 CCC 01233 7777 4 CCCC 照此规律 当nN 时 0121 2121
5、2121 n nnnn CCCC L 12 已知二次函数 2 4 f xx 则它与x轴所围成的图形面积为 13 已知 44 230 p axaqxx 在 0 2 上有极值 则实数a的取值范围 是 15 已知函数 f x 的定义域为R 1 2 f 对于任意的 2 xR fx 则 24 f xx 的解集为 16 若不等式 22 ln xaxam 对于任意的 0 xR a 恒成立 则实数m 的取值范围是 三 解答题 17 设数列 n a 满足 1 2 3 a 其前n项和为 n S 满足 1 1 2 2 n n Sn S 求 1234 S SS S 的值 猜想 n S 的表达式并用数学归纳法证明 天津
6、市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 8 18 已知函数 x x a x x f ln a R 若 f x 在 1 x 处取得极值 求a的值 若 x f 在区间 2 1 上单调递增 求a的取值范围 讨论函数 a g xfx x 的单调性 19 函数 3 ln 1 0 1 0 3 axx f x xax x 时 求函数 f x 的单调区间和极值 当a在R 上变化时 讨论函数 f x 与 g x 的图象公共点的个数 20 已知函数 ln 1 xx f x x 和直线 1 l ym x 当曲线 yf x 在点 1 1 f 处的切线与直线l 垂直时 求直线l 的方程 若对于任意的 1 1 xf xm
7、 x 恒成立 求m 的取值范围 求证 4 2 1 ln21 41 n i i n i 15 1 16 1 2 三 解答题 17 解 3 2 1 1 a S 4 3 2 3 2 1 2 S 5 4 2 4 3 1 3 S 6 5 2 5 4 1 4 S 猜想 2 1 N n n n S n 证明 n 1 时 3 2 1 S 符合 假设 n k 时结论成立 2 1 k k S k 当 n k 1 时 3 2 2 1 1 k k S S k k 由 知 2 1 n n S n 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 8 18 解 1 x x a x f 1 1 2 0 1 1 1 a f a 2
8、 2 0 1 1 2 x x a x f 在 1 2 上恒成立 x x a 2 2 a 3 x a x x a x g 1 1 2 2 2 1 x a x a x x g 3 2 2 2 1 x a x a x x g 0 2 1 3 x a x a x g a a x 1 2 1 a 时 0 x g x g 在 0 上单调增 0 a 时 0 x g x g 在 0 上单调减 1 0 0 1 a fx x f x 在 0 递增 当 0 x 时 2 fxxa 0 0 xafx f x 递增 故 f x 在 a 0 递增 0 a 递减 不必说明连续性 故 2 0 0 3 f xff xfaa a
9、极小值 极大值 4 分 解 即讨论 h xg xf x 的零点的个数 0 0 h 故必有一个零点为 0 x 当 0 x 时 1ln 1 x h xg xf xeax 1 x a h xe x x 1 2 0 a a a a 1 2 1 2 a a x g x g 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 8 若 a 1 则 1 1 x a e x h x 在 0 递增 0 0 h xh 故此时 h x 在 0 无零点 5 分 若 a 1 1 x a h xe x 在 0 递增 0 1 h xha 10 a 且x 时 h x 则 0 0 x 使 0 0 h x 进而 h x 在 0 0 x 递
10、减 在 0 x 递增 0 0 0 h xh 由指数 对数函数的增长率知 x 时 h x h x 在 0 x 上有一个零点 在 0 0 x 无零点 故 h x 在 0 有一个零点 7 分 当 0 x 对 0 x 恒成立 故 2 x h xexa 在 0 递增 0 1 h xha 且x 时 h x 若10 a 即 1 a 则 0 10 h xha h x 在 0 无零点 8 分 若10 a 即 1 a 则 0 0 x 使 0 0 h x 进而 h x 在 0 x 递减 在 0 0 x 递增 0 0 0 h xh 且x 时 2 1 1 3 3 x h xex xa h x 在 0 x 上有一个零点
11、在 0 0 x 无零点 故 h x 在 0 有一个零点 10 分 综合 当 1 a 时有一个公共点 当 11 a 时有三个公 共点 11 分 20 解 2 1ln 1 xx fx x 2 分 1 1 2 f 于是 2 m 直线l 的方程为 220 xy 3 分 ln1 1 1 ln 1 xx f xxf xm xxm x xx 即 设 1 ln g xxm x x 即 1 0 xg x 2 22 11 1 mxxm g xm xxx 6 分 0 m 存在 x使 0 g x 1 0 g xg 这与题设 0 g x 矛盾 7 分 若 0 m 方程 2 0 mxxm 的判别式 2 14m 当 0 即
12、 1 2 m 时 0 g x g x 在 1 上单调递减 1 0 g xg 即不等式成立 8 分 当 1 0 2 m 时 方程 2 0 mxxm 设两根为 12 x x 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 22 1212 114114 0 1 1 22 mm xxxx mm 单调递增 1 0 g xg 与题设矛盾 综上所述 1 2 m 10 分 由 知 当 1 x 时 1 2 m 时 11 ln 2 xx x 成立 不妨令 21 21 k xk k N 所以 2 21121214 212212141 kkkk kkkk 2 14 ln 21 ln 21 441 k kkk k N 11 分 2 2 2 11 ln3ln1 44 11 12 ln5ln3 4421 1 ln 2 1 ln 21 441 n nn n 12 分 累加可得 2 1 1 ln 2 1 441 n i i n i n N 4 2 1 ln21 41 n i i n i n N 14分
