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1、 圆锥曲线中 三大弦案 的破解策略 圆锥曲线在数学高考中的分值大约占总分的15 左右 主要考查椭圆 双曲线 抛物线的定义 标准方程 几何性质 以及与直线的位置关系和求轨迹方程等 涉及的数学思想方法主要有 数形结合思想 函数与方程的思想 等价转化的思想 分类讨论的思想 整体思想 以及配方 换元 构造 待定系数法等数学方法 同时 以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题也是近几年来数学高考的一大特点 以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力 而有关弦的问题又是圆锥曲线中最常见的情景 也是高考命题的常用素材和热点问题 这类问题主要有中点弦 焦点弦和直角弦三种 故称为圆锥曲线中的 三大弦案
2、第一弦案 中点弦 例1 已知椭圆 1 过点A 2 1 引椭圆的割线 求截得的弦的中点轨迹方程 2 求过点P且被点P平分的弦所在的直线方程 3 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程 设过点A 2 1 的直线与椭圆交于M x m y n N x m y n 两点 则MN的中点为R x y 由点M N在椭圆x2 2y2 2上 于是有 解 1 得 又 点A M R N四点共线 由 和 得 于是所求的中点的轨迹方程为 x2 2x 2y2 2y 0 在已知椭圆内的部分 图1 设过点P的直线与椭圆相交于两点 则由点 在椭圆x2 2y2 2上 于是有 2 求过点P且被点P平分的弦所在的直线方程 得 于是得 所在的
3、直线方程为 即2x 4y 3 0 图2 第一弦案 中点弦 设斜率为2的直线与椭圆相交于M x m y n N x m y n 两点 由 1 知 于是有 所求的轨迹方程为 x 4y 0 在已知椭圆内的部分 3 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程 第一弦案 中点弦 例2 给定双曲线 1 过点A 2 1 的直线与所给双曲线交于两点P1 P2 求线段P1P2的中点P的轨迹方程 2 过点B 1 1 能否作直线m 使m与所给双曲线交于Q1 Q2两点 且点B是线段Q1Q2的中点 这样的直线m如果存在 求出它的方程 如果不存在 说明理由 本题主要考查双曲线的性质 直线与双曲线的关系以及解析几何的基本方法 基本思
4、想和综合解题能力 第一弦案 中点弦 解 1 设过点A 2 1 的直线与双曲线交于P1 x m y n P2 x m y n 两点 则线段P1P2的中点P为 x y 点 在双曲线 x y 上 2 x m 2 y n 2 2 2 x m 2 y n 2 2 得 又 是P1 P2 A P四点共线 由 和 得 即所求的点P的轨迹方程为 第一弦案 中点弦 2 过点B 1 1 能否作直线m 使m与所给双曲线交于Q1 Q2两点 且点B是线段Q1Q2的中点 这样的直线m如果存在 求出它的方程 如果不存在 说明理由 假设符合条件的直线m存在 且设Q1 1 p 1 q Q2 1 p 1 q 则有 得 得 由 和
5、得 这是不可能的 这样的直线m不存在 点评 圆锥曲线中的 中点弦 问题是历年高考数学最常考的问题之一 解决这类问题关键要注意以下几点 1 解决中点弦的关键是 引进来 即引进参数 巧设坐标 让中点坐标自然成为 x y 2 将圆锥曲线上的两点代入圆锥曲线方程 两式相减化简后得到与圆锥曲线相交的那条直线的斜率或通过两式相加得出有关参数的式子 3 由三点 或四点 共线得出直线的斜率 4 走出去 即消去参数 通过斜率相等 从而得出弦的中点的轨迹方程 第一弦案 中点弦 第二弦案 焦点弦 例3 2004年全国高考题 给定抛物线C y2 4x F是C的焦点 过点F的直线与C相交于A B两点 I 设的斜率为1
6、求与的夹角的大小 II 本题主要考查抛物线的性质 直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法 思想和综合解题能力 解 I C的焦点为F 1 0 直线的斜率为1 所以的方程为y x 1 将y x 1代入方程y2 4x 并整理得x2 6x 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 则有x1 x2 6 x1x2 1 II 由题设 由 得联立 解得 第二弦案 焦点弦 点评 圆锥曲线中的 焦点弦 问题是历年数学高考最常考的问题之一 解决这类问题关键要注意以下几点 1 根据已知条件找出焦点坐标 并根据条件设出 或求出 过焦点的直线的方程 2 将直线方程代入圆锥曲线方程 消去x 或y 将方程化简整理为关于y
7、或x 的二次方程 3 设直线与圆锥曲线相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则可使用韦达定理找出有关的关系式 4 A x1 y1 B x2 y2 两点的坐标既可以代入直线方程又可以代入圆锥曲线方程进行有关的化简 5 当斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A x1 y1 B x2 y2 两点时 还会经常使用到弦长公式 6 圆锥曲线与平面向量的综合已经成为近几年高考命题的热点 因此 大家在学习中务必要学会把有关的平面向量的式子进行数学翻译 特别是平行 共线 垂直 三角形的中线 角平分线等问题的向量表示要熟练掌握 第二弦案 焦点弦 与x轴相交于点A OF 2 FA 例4 2004年天津高考题 椭圆的
8、中心是原点O 它的短轴长为 相应于 焦点F c 0 C 0 的准线 过点A的直线与椭圆相交于P Q两点 1 求椭圆的方程及离心率 2 若 求直线PQ的方程 3 设 1 过点P且平行于准线 的直线与椭圆 相交于另一点M 证明 解 1 由题意 可设椭圆的方程为 由已知得 解得 c 2 所以椭圆的方程为 离心率 第三弦案 直角弦 解 由 1 可得A 3 0 设直线PQ的方程为 由方程组 得 依题意 设 则 由直线PQ的方程得 由 得 第三弦案 直角弦 所以直线PQ的方程为 2 若 求直线PQ的方程 3 设 过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M 证明 证明 第三弦案 直角弦 点评 解决直角弦问题除了与类似焦点弦的一些做法外 主要是要抓住 直角 垂直 的问题 这里主要要用到两个向量垂直时 有 x x y y 或两条直线互相垂直时 有 k k 有时也用到直角三角形中的勾股定理等对问题进行计算或化简
