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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）数学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2014年广西，文1，5分】设集合，则中元素的个数为（ ）（A）2 （B）3 （C）5 （D）7【答案】B【解析】，所以中元素的个数为3，故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键（2）【2014年广西，文2，5分】已知角的终边经过点，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由三角函数定义知，故选D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题（
2、3）【2014年广西，文3，5分】不等式组的解集为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由得或；由得，所以不等式组的解集为，故选C【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题（4）【2014年广西，文4，5分】已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】如图，取的中点，连接、因为、分别是、的中点，所以，故或其补角是异面直线、所成的角设正四面体的棱长为，易知，在中，由余弦定理可得，故选B【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题（5）【2014年广西，文5，
3、5分】函数的反函数是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由得，即，又由可知，所以原函数的反函数为，故选D【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题（6）【2014年广西，文6，5分】已知为单位向量，其夹角为，则（ ）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2【答案】B【解析】，故选B【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题（7）【2014年广西，文7，5分】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）（A）60种 （B）70种 （C）75种 （D）150种【答案】C【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有种选法，
4、再从5名女医生中选出1人，有种选法，则不同的选法共有155=75种，故选C【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同（8）【2014年广西，文8，5分】设等比数列的前项和为，若，则（ ）（A）31 （B）32 （C）63 （D）64【答案】C【解析】由等比数列的性质得，即，解得，故选C【点评】本题考查等比数列的性质，得出，成等比数列是解决问题的关键，属基础题（9）【2014年广西，文9，5分】已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】的周长为，离心率为，椭圆的方程为，故选A【点评】本题
5、考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题（10）【2014年广西，文10，5分】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】设球的半径为，则棱锥的高为4，底面边长为2，球的表面积为，故选A【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题（11）【2014年广西，文11，5分】双曲线：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）（A）2 （B） （C）4 （D）【答案】C【解析】由已知得，所以，故，从而双曲线的渐进线方程为，由焦点到渐进线的距离为
6、，得，解得，故，故选C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础（12）【2014年广西，文12，5分】奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由是偶函数可得，又由是奇函数得，所以，故是以4为周期的周期函数，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，故，故选D【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键第II卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年广西，文13，5分】的展开式中的系数为 （用
7、数字作答）【答案】【解析】通项，令，得，所以的系数为【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到的展开式的通项（14）【2014年广西，文14，5分】函数的最大值为 【答案】【解析】，因为，所以当时，【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式，二次函数的性质应用，正弦函数的值域，属于基础题（15）【2014年广西，文15，5分】设、满足约束条件，则的最大值为 【答案】5【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得化目标函数为直线方程的斜截式，得由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，最大此时【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题（16）【2014年广西，文16，
8、5分】直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与 的夹角的正切值等于_ 【答案】【解析】设与的夹角为，由于与的交点在圆的外部，且点与圆心之间的距离为：，圆的半径为，【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题三、解答题：本大题共6题，共75分（17）【2014年广西，文17，10分】数列满足（1）设，证明是等差数列；（2）求的通项公式解：（1）由得，即又所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）得，即于是，所以，又，所以的通项公式为【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前项和公式，及累加法求数列的通项公式和
9、转化思想，属于中档题（18）【2014年广西，文18，12分】的内角、的对边分别为、，已知，求解：根据正弦定理，由因为，所以，所以 因为，所以，由三角形的内角和可得【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题（19）【2014年广西，文19，12分】如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，（1）证明：；（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小解：解法一：（1）因为平面，平面，故平面平面又，所以平面连结因为侧面为菱形，故 由三垂线定理得（2）平面，平面，故平面平面作，为垂足，则平面又直线平面，因而
10、为直线与平面的距离，因为为的平分线，故作，为垂足，连结由三垂线定理得，故为二面角的平面角由得为中点，所以二面角的大小为解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以的长为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系，由题设知与轴平行，轴在平面内（1）设，由题设有，则， ， 2分由，即于是，所以 5分（2）设平面的法向量，则，所以，因，所以，令，则，点到平面的距离为，又依题设，到平面的距离为，所以代入解得（舍去）或 8分于是，设平面的法向量，则所以，所以，令，则，又为平面的法向量，故，所以二面角的大小为 12分【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题（20）【201
11、4年广西，文20，12分】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为，各人是否需使用设备相互独立（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买台设备供甲、乙、丙、丁使用若要求“同一工作日需使用设备的人数大于”的概率小于，求的最小值解：记表示事件：同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备，表示事件：甲需使用设备，表示事件：丁需使用设备，表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）， ，所以（2）由（1）知，若，则又，若，则所以的最小值时为3【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题（21）【2014年广西，文21，12分】函数
12、（1）讨论的单调性；（2）若在区间是增函数，求的取值范围解：（1），的判别式（i）若，则，且当且仅当，故此时在上是增函数（ii）由于，故当时，有两个根：，若，则当或时，故在，上是增函数；当时，故在上是减函数；若，则当或时，故在，上是减函数；当时，故在上是增函数（2）当，时，故当时，在区间上是增函数当时，在区间上是增函数当且仅当且，解得综上，的取值范围是【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用（22）【2014年广西，文22，12分】已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且（1）求的方程；（2）过的直线与相交于，两点，若的垂直平分线与相交于，两点，且，四点在同一圆上，求的方程解：（1）设，代入得所以，由题设得，解得（舍去）或所以的方程为（2）依题意知与坐标轴不垂直，故可设的方程为代入得设，则，故的中点为，又的斜率为，所以的方程为将上式代入，并整理得设，则，故中点为，由于垂直平分，故，四点在同一圆上等价于，从而，即化简得，解得或所求直线的方程为或【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题6
