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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2014年湖南，文1，5分】设命题，则为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选B（2）【2014年湖南，文2，5分】已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由题可得，故选C（3）【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（
2、 ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即，故选D（4）【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A、B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，所以排除C、D选项由二次函数的图像可得选项B在是单调递减的，根据排除法选A因为函数在是单调递减的且在是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A在是单调递减的，故选A（5）【2014年湖南，文5，5分】在区间上随机选取一个数
3、，则的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】在上符合的区间为，因为的区间长度为5且区间的区间长度为3，所以根据几何概型的概率计算公式可得，故选B（6）【2014年湖南，文6，5分】若圆与圆外切，则（ ）（A）21 （B）19 （C）9 （D）【答案】C【解析】因为，所以且圆 的圆心为，半径为，根据圆和圆外切的判定可得，故选C（7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】当时，运行程序如下：，当时，则，故选D（8）【2014年湖南，文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，
4、将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直 角三角形）所对应的内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切圆的半径，则，故选B（9）【2014年湖南，文9，5分】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】设，则时，的符号不确定，的单调性不确定设，则时，在上单调递减，故选C （10）【2014年湖南，文10，5分】在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】点D的轨
5、迹是以为圆心的单位圆，设，则因为的取值范围是，故，故选D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置（11）【2014年湖南，文11，5分】复数（为虚数单位）的实部等于 【答案】【解析】由题可得所以，的实部为（12）【2014年湖南，文12，5分】在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为 【答案】【解析】联立，消可得（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量满足约束条件，则的最大值为 【答案】7【解析】作出不等式组表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数在点处取得最大值7（14）【2014年湖南，文14，5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点的
6、距离和到直线的距离相等若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是 【答案】【解析】由题设知机器人在以点为焦点的抛物线上，且与抛物线无交点，方程无实根，则且或， 所以（15）【2014年湖南，文15，5分】若是偶函数，则 【答案】【解析】因为为偶函数，所以三、解答题：本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16）【2014年湖南，文16，12分】已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和解：（1）当时，当时，（2）由题意得：，数列的前项和为 （17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽
7、取这两个小组往年研发新产品的结果如下：其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率解：（1）甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为 方差为；乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为 方差为 ，甲组的研发水平优于乙组的研发水平（2）记恰有一组研发成功，在所抽得的15个结果
8、中，恰有一组研发成功的结果是 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得（18）【2014年湖南，文18，12分】如图，已知二面角的大小为60，菱形在面内，两点在棱上，60，是的中点，面，垂足为（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值解：（1），四边形问菱形，连结，则为正三角形又为的中点，而，平面 （2），是直线，所成的角 由（1）知，平面， ，是二面角的平面角，设，则，连结，则，异面直线，所成的角的余弦值为（19）【2014年湖南，文19，13分】如图，在平面四边形中，（1）求的值；（2）求的长解：（1）在中，即，（舍去），设，即，（2）， ， 在中，（20）【2014年湖南，文20
9、，13分】如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形（1）求的方程；（2）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论解：（1）设的焦距为，则，在上，由椭圆定义知，的方程分别为（2）不存在符合题设条件的直线若轴，与只有一个公共点，的方程为或当时，易得， ，此时若不垂直轴，设，代入双曲线方程整理得 当与有两个交点，时，于是，再将代入椭圆方程整理得， 与只有一个公共点，由，可得，于是有，即综合可知，不存在符合题设条件的直线（21）【2014年湖南，文21，13分】已知函数 （1）求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有解：（1），令，则 当时，当时，的单调减区间为， 的单调增区间为（2）由（1）知，在区间上单调递减， 当时， 且的图像是连续不断的，在区间内至少有一个实根，又在区间上是单调的，由此可得 综上可知，对一切，都有6
