《2017-2018学年高中数学-考点15-正弦定理和余弦定理(含2016年高考试题)新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学-考点15-正弦定理和余弦定理(含2016年高考试题)新人教A版（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点15 正弦定理和余弦定理1、 选择题1.(2016全国卷高考文科T4)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2D.3【解析】选D.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得=b2+22-2b2cosA,即3b2-8b-3=0,解得b=- (舍)或b=3.2.(2016全国卷理科T8)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A.B.C.- D.- 【解题指南】根据正弦定理求解.【解析】选C.设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得SABC=aa=acsin B.c=a.由余弦定理得b2=a2+c
2、2-2accos B=a2+a2-2aa=a2.b=a.cosA=.3.(2016全国卷文科T9)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=()A.B.C.D.【解题指南】根据正弦定理求解.【解析】选D.设BC边上的高为AD,且AD=m,因为B=,则BD=m,AB=m,又因为AD=BC,所以DC=2m,AC=m,由正弦定理得sinBAC=.4.(2016山东高考文科T8)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=()A.B.C.D.【解题指南】变形后,利用余弦定理巧妙求解.【解析】选C.由题意1-sinA=,所以sinA=1-=co
3、sA,所以A=.5.(2016天津高考理科T3)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用余弦定理得出C与三边的关系,然后求解.【解析】选A.设AC=x,由余弦定理得:cosC=,得x2+3x-4=0.解得x=1或-4(舍),所以AC=1.2、 填空题6.(2016全国卷文科T15)同(2016全国卷理科T13)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.【解题指南】已知cosA,cosC,可求sinB,又a=1,可利用正弦定理求解.【解析】因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=,
4、sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,由正弦定理得,解得b=.答案:7.(2016全国卷高考理科T17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C.(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.因为A+B+C=,A,B,C(0,),所以sin(A+B)=sinC0,所以2cosC=1,cosC=.因为C(0,),所以C=.(2)由余弦定理得:
5、c2=a2+b2-2abcosC,7=a2+b2-2ab,(a+b)2-3ab=7,S=absinC=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,所以ABC的周长为a+b+c=5+.8.(2016浙江高考文科T16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B.(2)若cosB=,求cosC的值.【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin=sin(-),再判断-的取值范围,进而可证=2;(2)由cosB的值可以求出A的三角函数值,又由C=-(A+B)的关系求cosC的值.【解析】(1)由正弦定理得sinB+s
6、inC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是,sinB=sin(A-B),又A,B(0,),故0A-B0,则sinA=,即=,由(1)可知=1,所以,所以tanB=4.11.(2016天津高考文科T15)(本小题满分13分)在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)求B.(2)若cosA=,求sinC的值.【解题指南】(1)利用正弦定理实现边化角,化简得到cosB,结合B的范围得出B.(2)利用三角形内角和为,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求解.【解析】(1)在ABC中,由可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA得2asinBcosB=bsinA,整理得cosB=,因为B为ABC的内角,所以B=.(2)在ABC中,sinC=sin-(A+B)=sin(A+B),由cosA=得sinA=,所以sinC=sin=sinA+cosA=.
