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1、1 第一章 整式的运算知识要点分章梳理 单项式 整式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 幂运算同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法多项式与多项式相乘 整式运算平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一 单项式 1 都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式 2 单项式的数字因数叫做单项式的系数 3 单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数 4 单独一个数或一个字母也是单项式 5 只含有字母因式的单项式的系数是1 或 1 6 单独的一个数字是单项式 它的系数是它本身 7 单独的一个非零常数的次数
2、是0 8 单项式中只能含有乘法或乘方运算 而不能含有加 减等其他运算 9 单项式的系数包括它前面的符号 10 单项式的系数是带分数时 应化成假分数 11 单项式的系数是1 或 1 时 通常省略数字 1 12 单项式的次数仅与字母有关 与单项式的系数无关 二 多项式 1 几个单项式的和叫做多项式 2 多项式中的每一个单项式叫做多项式的项 3 多项式中不含字母的项叫做常数项 4 一个多项式有几项 就叫做几项式 5 多项式的每一项都包括项前面的符号 6 多项式没有系数的概念 但有次数的概念 7 多项式中次数最高的项的次数 叫做这个多项式的次数 三 整式 1 单项式和多项式统称为整式 2 单项式或多项
3、式都是整式 3 整式不一定是单项式 4 整式不一定是多项式 5 分母中含有字母的代数式不是整式 而是今后将要学习的分式 四 整式的加减 1 整式加减的理论根据是 去括号法则 合并同类项法则 以及乘法分配律 2 几个整式相加减 关键是正确地运用去括号法则 然后准确合并同类项 3 几个整式相加减的一般步骤 整 式 的 运 算 2 1 列出代数式 用括号把每个整式括起来 再用加减号连接 2 按去括号法则去括号 3 合并同类项 4 代数式求值的一般步骤 1 代数式化简 2 代入计算 3 对于某些特殊的代数式 可采用 整体代入 进行计算 五 同底数幂的乘法 1 n 个相同因式 或因数 a 相乘 记作a
4、n 读作 a 的 n 次方 幂 其中 a 为底数 n 为 指数 a n 的结果叫做幂 2 底数相同的幂叫做同底数幂 3 同底数幂乘法的运算法则 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 即 a m a n am n 4 此法则也可以逆用 即 a m n a m a n 5 开始底数不相同的幂的乘法 如果可以化成底数相同的幂的乘法 先化成同底数幂再运 用法则 六 幂的乘方 1 幂的乘方是指几个相同的幂相乘 a m n 表示 n 个 a m相乘 2 幂的乘方运算法则 幂的乘方 底数不变 指数相乘 a m n amn 3 此法则也可以逆用 即 a mn a m n an m 七 积的乘方 1 积的乘方是指底
5、数是乘积形式的乘方 2 积的乘方运算法则 积的乘方 等于把积中的每个因式分别乘方 然后把所得的幂相乘 即 ab n anbn 3 此法则也可以逆用 即 a n b n ab n 八 三种 幂的运算法则 异同点 1 共同点 1 法则中的底数不变 只对指数做运算 2 法则中的底数 不为零 和指数具有普遍性 即可以是数 也可以是式 单项式或多 项式 3 对于含有3 个或 3个以上的运算 法则仍然成立 2 不同点 1 同底数幂相乘是指数相加 2 幂的乘方是指数相乘 3 积的乘方是每个因式分别乘方 再将结果相乘 九 同底数幂的除法 1 同底数幂的除法法则 同底数幂相除 底数不变 指数相减 即 a m a
6、 n am n a 0 2 此法则也可以逆用 即 a m n am a n a 0 十 零 指数幂 1 零指数幂的意义 任何不等于0 的数的 0 次幂都等于1 即 a 0 1 a 0 十一 负指数幂 1 任何不等于零的数的 p 次幂 等于这个数的p 次幂的倒数 即 1 0 p p a aa 注 在同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂中底数不为0 十二 整式的乘法 一 单项式与单项式相乘 1 单项式乘法法则 单项式与单项式相乘 把它们的系数 相同字母的幂分别相乘 其余 字母连同它的指数不变 作为积的因式 2 系数相乘时 注意符号 3 相同字母的幂相乘时 底数不变 指数相加 4 对于只在一个单项式中
7、含有的字母 连同它的指数一起写在积里 作为积的因式 5 单项式乘以单项式的结果仍是单项式 6 单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用 二 单项式与多项式相乘 1 单项 式与多项式乘法法则 单项式与多项式相乘 就是根据分配率用单项式去乘多项式 3 中的每一项 再把所得的积相加 即 m a b c ma mb mc 2 运算时注意积的符号 多项式的每一项都包括它前面的符号 3 积是一个多项式 其项数与多项式的项数相同 4 混合运算中 注意运算顺序 结果有同类项时要合并同类项 从而得到最简结果 三 多项式与多项式相乘 1 多项式与多项式乘法法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每
8、一项乘另一个多 项式的每一项 再把所得的积相加 即 m n a b ma mb na nb 2 多项式与多项式相乘 必须做到不重不漏 相乘时 要按一定的顺序进行 即一个多项 式的每一项乘以另一个多项式的每一项 在未合并同类项之前 积的项数等于两个多项式项 数的积 3 多项式的每一项都包含它前面的符号 确定积中每一项的符号时应用 同号得正 异号 得负 4 运算结果中有同类项的要合并同类项 5 对于含有同一个字母的一次项系数是1 的两个一次二项式相乘时 可以运用下面的公式 简化运算 x a x b x 2 a b x ab 十三 平方差公式 1 a b a b a 2 b2 即 两数和与这两数差的
9、积 等于它们的平方之差 2 平方差公式中的a b 可以是单项式 也可以是多项式 3 平方差公式可以逆用 即 a 2 b2 a b a b 4 平方差公式还能简化两数之积的运算 解这类题 首先看两个数能否转化成 a b a b 的形式 然后看a 2 与 b 2 是否容易计算 十四 完全平方公式 1 222222 2 2 abaabbabaabb即 两数和 或差 的平方 等于它 们的平方和 加上 或减去 它们的积的2 倍 2 公式中的a b 可以是单项式 也可以是多项式 3 掌握理解完全平方公式的变形公式 1 222222 1 2 2 2 ababababababab 2 22 4ababab 3
10、 22 1 4 ababab 4 完全平方式 我们把形如 2222 2 2 aabbaabb的二次三项式称作完全平方式 5 当计算较大数的平方时 利用完全平方公式可以简化数的运算 6 完全平方公式可以逆用 即 222222 2 2 aabbabaabbab 十五 整式的除法 一 单项式除以单项式的法则 1 单项式除以单项式的法则 一般地 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除后 作为 商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数一起作为商的一个因式 2 根据法则可知 单项式相除与单项式相乘计算方法类似 也是分成系数 相同字母与不 相同字母三部分分别进行考虑 二 多项式除以单项式的法则 1 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项 式 再把所得的商相加 用字母表示为 abcmambmcm 2 多项式除以单项式 注意多项式各项都包括前面的符号
